1、小题专练作业(十六)一、选择题1(2016山西四校)若直线l:axby10始终平分圆M:x2y24x2y10的周长,则(a2)2(b2)2的最小值为()A.B5C2 D10答案B解析由题意,知圆心M的坐标为(2,1),所以2ab10.因为(a2)2(b2)2表示点(a,b)与(2,2)的距离的平方,而的最小值为,所以(a2)2(b2)2的最小值为5.2(2016百校联盟)已知直线ykx3与圆x2(y3)216相交于A,B两点,则“k2”是“|AB|4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析易得圆心为(0,3),半径为4,圆心(0,3)到直线ykx3
2、的距离d,弦长的一半为2,故d2,解得k28,可得k2或k2,故“k2”是“|AB|4”的充分不必要条件,故选A.3(2016合肥质检)已知点A,B分别为双曲线C:1(a0,b0)的左、右顶点,点P为双曲线C上异于A,B的另外一点,且ABP是顶角为120的等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程为()A.xy0 Bxy0Cxy0 D.xy0答案C解析依题意,不妨设点P在双曲线的右支上,且ABP120,过点P作PP垂直于x轴并交x轴于P,故|BP|AB|2|BP|2a,故在直角三角形BPP中,P(2a,a),代入双曲线的方程中整理得1,即1,即双曲线的渐近线方程为yx.4(2016新课标全国)已知F1
3、,F2是双曲线E:1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为()A. B.C. D2答案A解析设F1(c,0),将xc代入双曲线方程,得1,所以1,所以y.因为sinMF2F1,所以tanMF2F1,e21e,解得e.选A.5(2016河北三市七校)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y24x相交于A、B两点,且|PA|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为()A. B.C. D2答案A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A、B作直线x1的垂线,垂足分别为D、E,|PA|AB|,又得x1,则点A到抛物线C的焦点的距离为1.6(2016福州调研)已知
4、圆C:x2y22x3,过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点D,E,F,G,则四边形DFEG面积的最大值为()A4 B7C5 D8答案B解析如图,C:x2y22x3(x1)2y24,则圆心C(1,0),r2,因|DE|22,|FG|22,又d12d22OC21,所以S四边形DFEG|DE|FG|24d124d227,即四边形面积的最大值为7.7(2016河南八市质检)已知点A是抛物线y24x的对称轴与准线的交点,点B是其焦点,点P在该抛物线上,且满足|PA|m|PB|,当m取得最大值时,点P恰在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.1 B22C.1 D22答案C解析设P(x,y)
5、,可知A(1,0),B(1,0),所以m,当x0时,m1;当x0时,m(当且仅当x时取等号)所以P(1,2),所以|PA|2,|PB|2.又点P在以A,B为焦点的双曲线上,所以由双曲线的定义知2a|PA|PB|22,即a1,c1,所以e1,故选C.8(2016福州五校)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线的方程是yx,且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析双曲线的渐近线方程是yx,所以,抛物线的准线方程为x,所以c,由a2b2c2,可得a24,b23,故选B.9(2016石家庄模拟)如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为20厘米,底
6、面半径为2厘米球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计)一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析如图,设上、下两个乒乓球的球心分别为O1,O2,椭圆与球筒边缘的交点分别为E,F,椭圆与两个乒乓球的切点分别为A,B,由题可知,|O1O2|16,|O1A|2,过点E作EMO1O2,则|EM|O1A|2,易知EMOO1AO,则|EO|O1O|8,所以|EF|16,即2a16,a8.椭圆的短轴长为圆柱的直径,即2b4,b2,所以c2,故该椭圆的离心率e,选项A正确10(20
7、16山西质检)F1,F2分别为双曲线1(a,b0)的左,右焦点,点P在双曲线上,满足0,若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为,则该双曲线的离心率为()A. B.C.1 D.1答案D解析不妨设|PF1|m,根据双曲线的定义有|PF2|m2a,由于0,即,则有m2(m2a)2(2c)2,整理有2m24am4c24a24b2,即m22am2b20,解得ma(负值舍去),即|PF1|a,|PF2|a,设PF1F2的内切圆半径为r,则有(|PF1|PF2|F1F2|)r|PF1|PF2|,解得r,又PF1F2的外接圆半径Rc,则有,整理有,整理可得c(1)a,故双曲线的离心率为e1.11(2016
8、浙江)已知椭圆C1:y21(m1)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e2n,又(e1e2)211,所以e1e21.故选A.12(2016山西协作体)已知A1,A2分别为双曲线1的左、右顶点,P为双曲线上第一象限内的点,直线l:x1与x轴交于点C,若直线PA1,PA2分别交直线l于B1,B2两点,且A1B1C与A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为()A. B.C. D.答案B解析由已知,显然直线PA1的斜率存在,故可设直线PA1的方程为yk(x2),由已知k0,则由得(94k2)y23
9、6ky0,易知94k20,因而P(,),所以kPA2,则直线PA2的方程为y(x2),直线PA1,PA2与直线l分别交于B1(1,3k),B2(1,),因而33k1,得k,故选B.13(2016重庆测试)若以F1(3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线与直线yx1有公共点,则该双曲线的离心率的最小值为()A. B.C. D.答案B解析依题意,设题中的双曲线方程是1(a0,b0),则有a2b29,b29a2.由消去y,得1,即(b2a2)x22a2xa2(1b2)0(*)有实数解,注意到当b2a20时,方程(*)有实数解,此时双曲线的离心率e;当b2a20时,4a44a2(b2a2)(1b2)0
10、,即a2b21,a2(9a2)1(b29a20且a2b2),由此解得00)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线经过点(0,2),M为抛物线上的一个动点,则M到直线l1:5x4y40和l2:x的距离之和的最小值为()A. B.C. D.答案A解析抛物线的焦点为F(,0),准线为x,故直线AB的方程为yx,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x23px0,所以x1x23p,y1y22p,故线段AB的中点坐标为(,p),又AB的垂直平分线经过点(0,2),故AB垂直平分线的方程为yx2,故p2,p,x是抛物线的准线,作MCl1于点C,MDl2于点D,如图所示,由抛
11、物线的定义知|MD|MF|,当M,C,F三点共线且点M位于C,F之间时,距离之和最小,其值是F(,0)到l1:5x4y40的距离,由点到直线的距离公式可得其距离d.二、填空题15(2016九江模拟)抛物线C:y24x的焦点为F,点P为抛物线上位于第一象限的点,过点P作C的准线的垂线,垂足为M,若在方向上的投影为,则FPM外接圆的方程为_答案x2(y1)22解析依题意得F(1,0),设M(1,t)(t0),|PF|PM|,在方向上的投影为,|MF|2,2,解得t2,P(1,2),FPM为直角三角形,且其外接圆圆心为(0,1),半径为,故FPM的外接圆的方程x2(y1)22.16(2016合肥六校
12、)已知点P和Q的纵坐标相同,P的横坐标是Q的横坐标的3倍,P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2,若C1的渐近线方程为yx,则C2的渐近线方程为_答案y3x解析设Q(x1,y1),P(3x1,y1),根据双曲线的对称性设C1的方程为1(a0,b0),则1,即C2的方程为1.因为C1的渐近线方程为yx,所以,所以C2的渐近线方程为yx,即y3x.17(2016江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆1(ab0)的右焦点,直线y与椭圆交于B,C两点,且BFC90,则该椭圆的离心率是_答案解析由题意可得B(a,),C(a,),F(c,0)则由BFC90,得(ca,)(ca,)c2a2b20,化简得
13、ca,则离心率e.18(2016黄山七校)已知点P是抛物线C1:y24x上的动点,过点P作圆C2:(x3)2y22的两条切线,则两切线夹角的最大值为_答案解析由已知得,圆心C2(3,0),半径为.设点P(,y0),两切点分别为A,B,要使两切线的夹角最大,只需|PC2|最小,|PC2|,当y024时,|PC2|min2,APC2BPC2,APB.19(2016衡中调研)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x22py(p0)交于点O、A、B,若ABO的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为_答案解析由题意可得双曲线的渐近线方程为yx,与抛物线C2:x22py联
14、立,可得x0或x,取A(,),设垂心H(0,),则kAH,而OAB的垂心为C2的焦点,则有()1,可得5a24b2,则有5a24(c2a2),故e.20(2016湖南六校联考)已知椭圆C的方程为1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点,直线x4与直线PA、PB分别交于M、N两点;若D(7,0),则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为_答案(1,0)解析设点P(x0,y0)、M(4,yM)、N(4,yN),则直线PA、PB所在的直线方程分别为y(x2)、y(x2),依题意,可求得yM,yN.(3,yM),(3,yN),9,又1,123x024y02,即9
15、,0,MN为过D、M、N三点的圆的直径通解:设定点为E(t,0),则MN为线段DE的垂直平分线,又线段MN为圆的直径,令圆心为F(4,a),可得|EF|FD|,即,解得t1或7(舍),所以定点坐标为(1,0)优解:设定点E(t,0),则MN为线段DE的垂直平分线,所以点E与点D关于直线x4对称,故定点为E(1,0)1(2016长春监测)过双曲线x21的右支上一点P,分别向圆C1:(x4)2y24和圆C2:(x4)2y21作切线,切点分别为M,N,则|PM|2|PN|2的最小值为()A10 B13C16 D19答案B解析由题可知,|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21),因此|P
16、M|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故选B.2(2016石家庄质检)已知直线l与双曲线C:x2y22的两条渐近线分别交A,B两点,若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则AOB的面积为()A. B1C2 D4答案C解析由题意得,双曲线的两条渐近线方程为yx,设A(x1,x1),B(x2,x2),AB中点坐标为(,),()2()22,即x1x22,SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x22,故选C.3(2016衡阳二模)已知双曲线1(a0,b0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线
17、的右焦点,且AFBF,设ABF,且,则该双曲线离心率e的取值范围为()A,1 B,2C,2 D,1答案A解析在RtABF中,|OF|c,|AB|2c,|AF|2csin,|BF|2ccos,由题中条件知|BF|AF|,|BF|AF|2c|cossin|2a,e,cos(),|cos()|,e,14(2016南昌调研)已知双曲线:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,(0),其中A、B为双曲线右支上的两点若在AF1B中,F1AB90,|F1B|AB|,则双曲线的离心率的平方的值为()A52 B52C6 D6答案B解析(0),A、F2、B三点共线在AF1B中,F1AB90,|F1B|AB|
18、,故AF1B是等腰直角三角形设|AF2|m,由|AF1|AF2|2a,得|AF1|2a|AF2|2am,又|AF1|AB|AF2|BF2|m|BF2|,|BF2|2a,又|BF1|BF2|2a,|BF1|4a,依题意|BF1|AF1|,即4a(2am),m2(1)a,在RtF1AF2中,|AF1|2|AF2|24c2,即8a2(2a2a)24c2,即c25a22a2,e252,故选B.5(2016开封模拟)已知点A(0,2),抛物线C1:y2ax(a0)的焦点为F,射线FA与抛物线C1相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|1,则a的值等于_答案4解析过点M作准线的垂线,垂足为H,则|FM|MH|,tanNMH2,即kMF2,2,解得a4.