1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系(难点)3.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题(难点)通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？知
2、识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程，计算方程的判别式000用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”直线3x4y5与圆x2y216的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交A圆心到直线的距离d10时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线
3、与圆有两个公共点；(2)当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当0时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d.(1)当d0或m2时，即m0，则相交；若有两组相同的实数解，即0，则相切；若无实数解，即0，则相离(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离跟进训练1(1)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能(2)设m0，则直线l
4、：(xy)1m0与圆O：x2y2m的位置关系为()A相切B相交C相切或相离D相交或相切(1)A(2)C(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32024391231，所以点A在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.(2)解根据题意，圆M：
5、x2y24x10，即(x2)2y25，其圆心M(2,0)，直线l：axby30与圆M：x2y24x10相切于点P(1,2)，则P在直线l上且MP与直线l垂直kMP2，则有，则有b2a，又由P在直线l上，则有a2b30，可解得a1，b2，则直线l的方程为x2y30.若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？解设圆心C(3,1)，则|AC|，则切线长d4.圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点在圆外时几何法：设切线方
6、程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解跟进训练2(1)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)的切线方程为()A2xy90B2xy90C2xy90D2xy90(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最小值为()A1B2CD3(1)B(2)C(1)x2y22x4y0的圆心为C(1,2)，kPC，切线的斜率k2，切线方程为y32(x3)，即2xy90.(2)圆心C(3,0)到yx1的距离
7、d2.所以切线长的最小值为l. 类型3直线与圆相交问题【例3】(1)求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.(2)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，如果|AB|8，求直线l的方程直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐标再求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？解(1)法一：(求交点坐标)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)故直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为x2(y1)25，则圆心C(0,1)，半径r，圆心C(0,1)到直线l
8、：3xy60的距离d，则弦长|AB|2.(2)将圆的方程配方得(x1)2(y2)225，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在时，x4满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.由点到直线的距离公式，得3，解得k，所以直线l的方程为5x12y200.综上所述，直线l的方程为x40或5x12y200.求圆的弦长的两个方法圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2d2解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长跟进训练3(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长
9、为_(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_(1)2(2)(x2)2(y1)24(1)设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|，半弦长为.最短弦的长为2.(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离d.又由题意知，半弦长为，r2224，得r2.圆的方程为(x2)2(y1)24.1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离B圆心(0,0)到直线yx1的距离d1，直线与圆x2y21相交，又(0,0)不在yx1上，直线不过圆心2(多选题)若直线3x4yb与圆x2y2
10、2x2y10相切，则b的值是()A2B12C2D12CD圆的方程为x2y22x2y10，可化为(x1)2(y1)21，由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为1，得b2或12.3过点P(0,1)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A，B两点，若|AB|，则该直线的斜率为()A1BCD2A由题意设直线l的方程为ykx1，因为圆(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，半径为r1，又弦长|AB|，所以圆心到直线的距离为d，所以有，解得k1.4过点P(2,3)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线方程为_x2或y3P(2,3)在圆(x1)2(y2)21外，过点P(2,3)与圆(x1)2(y2)
11、21相切的直线有两条当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y3k(x2)，即kxy32k0，1，k0，切线方程为y3，当斜率不存在时，切线方程为x2.5过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)判断直线和圆的位置关系有哪些方法？提示几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(2)如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？提示点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程.点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况.(3)直线和圆相交时，如何求弦长？提示利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系d2r2解题.利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.
