1、小题专练作业(十六)一、选择题1(2016山西四校)若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为()A.B5C2 D10答案B解析由题意，知圆心M的坐标为(2，1)，所以2ab10.因为(a2)2(b2)2表示点(a，b)与(2，2)的距离的平方，而的最小值为，所以(a2)2(b2)2的最小值为5.2(2016百校联盟)已知直线ykx3与圆x2(y3)216相交于A，B两点，则“k2”是“|AB|4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析易得圆心为(0，3)，半径为4，圆心(0，3)到直线ykx3
2、的距离d，弦长的一半为2，故d2，解得k28，可得k2或k2，故“k2”是“|AB|4”的充分不必要条件，故选A.3(2016合肥质检)已知点A，B分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点，点P为双曲线C上异于A，B的另外一点，且ABP是顶角为120的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为()A.xy0 Bxy0Cxy0 D.xy0答案C解析依题意，不妨设点P在双曲线的右支上，且ABP120，过点P作PP垂直于x轴并交x轴于P，故|BP|AB|2|BP|2a，故在直角三角形BPP中，P(2a，a)，代入双曲线的方程中整理得1，即1，即双曲线的渐近线方程为yx.4(2016新课标全国)已知F1
3、，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2答案A解析设F1(c，0)，将xc代入双曲线方程，得1，所以1，所以y.因为sinMF2F1，所以tanMF2F1，e21e，解得e.选A.5(2016河北三市七校)过点P(2，0)的直线与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A. B.C. D2答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A、B作直线x1的垂线，垂足分别为D、E，|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.6(2016福州调研)已知
4、圆C：x2y22x3，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点D，E，F，G，则四边形DFEG面积的最大值为()A4 B7C5 D8答案B解析如图，C：x2y22x3(x1)2y24，则圆心C(1，0)，r2，因|DE|22，|FG|22，又d12d22OC21，所以S四边形DFEG|DE|FG|24d124d227，即四边形面积的最大值为7.7(2016河南八市质检)已知点A是抛物线y24x的对称轴与准线的交点，点B是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PA|m|PB|，当m取得最大值时，点P恰在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A.1 B22C.1 D22答案C解析设P(x，y)
5、，可知A(1，0)，B(1，0)，所以m，当x0时，m1；当x0时，m(当且仅当x时取等号)所以P(1，2)，所以|PA|2，|PB|2.又点P在以A，B为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a|PA|PB|22，即a1，c1，所以e1，故选C.8(2016福州五校)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的方程是yx，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析双曲线的渐近线方程是yx，所以，抛物线的准线方程为x，所以c，由a2b2c2，可得a24，b23，故选B.9(2016石家庄模拟)如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底
6、面半径为2厘米球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计)一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析如图，设上、下两个乒乓球的球心分别为O1，O2，椭圆与球筒边缘的交点分别为E，F，椭圆与两个乒乓球的切点分别为A，B，由题可知，|O1O2|16，|O1A|2，过点E作EMO1O2，则|EM|O1A|2，易知EMOO1AO，则|EO|O1O|8，所以|EF|16，即2a16，a8.椭圆的短轴长为圆柱的直径，即2b4，b2，所以c2，故该椭圆的离心率e，选项A正确10(20
7、16山西质检)F1，F2分别为双曲线1(a，b0)的左，右焦点，点P在双曲线上，满足0，若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为()A. B.C.1 D.1答案D解析不妨设|PF1|m，根据双曲线的定义有|PF2|m2a，由于0，即，则有m2(m2a)2(2c)2，整理有2m24am4c24a24b2，即m22am2b20，解得ma(负值舍去)，即|PF1|a，|PF2|a，设PF1F2的内切圆半径为r，则有(|PF1|PF2|F1F2|)r|PF1|PF2|，解得r，又PF1F2的外接圆半径Rc，则有，整理有，整理可得c(1)a，故双曲线的离心率为e1.11(2016
8、浙江)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e2n，又(e1e2)211，所以e1e21.故选A.12(2016山西协作体)已知A1，A2分别为双曲线1的左、右顶点，P为双曲线上第一象限内的点，直线l：x1与x轴交于点C，若直线PA1，PA2分别交直线l于B1，B2两点，且A1B1C与A2B2C的面积相等，则直线PA1的斜率为()A. B.C. D.答案B解析由已知，显然直线PA1的斜率存在，故可设直线PA1的方程为yk(x2)，由已知k0，则由得(94k2)y23
9、6ky0，易知94k20，因而P(，)，所以kPA2，则直线PA2的方程为y(x2)，直线PA1，PA2与直线l分别交于B1(1，3k)，B2(1，)，因而33k1，得k，故选B.13(2016重庆测试)若以F1(3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线与直线yx1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为()A. B.C. D.答案B解析依题意，设题中的双曲线方程是1(a0，b0)，则有a2b29，b29a2.由消去y，得1，即(b2a2)x22a2xa2(1b2)0(*)有实数解，注意到当b2a20时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e；当b2a20时，4a44a2(b2a2)(1b2)0
10、，即a2b21，a2(9a2)1(b29a20且a2b2)，由此解得00)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点(0，2)，M为抛物线上的一个动点，则M到直线l1：5x4y40和l2：x的距离之和的最小值为()A. B.C. D.答案A解析抛物线的焦点为F(，0)，准线为x，故直线AB的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x23px0，所以x1x23p，y1y22p，故线段AB的中点坐标为(，p)，又AB的垂直平分线经过点(0，2)，故AB垂直平分线的方程为yx2，故p2，p，x是抛物线的准线，作MCl1于点C，MDl2于点D，如图所示，由抛
11、物线的定义知|MD|MF|，当M，C，F三点共线且点M位于C，F之间时，距离之和最小，其值是F(，0)到l1：5x4y40的距离，由点到直线的距离公式可得其距离d.二、填空题15(2016九江模拟)抛物线C：y24x的焦点为F，点P为抛物线上位于第一象限的点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，若在方向上的投影为，则FPM外接圆的方程为_答案x2(y1)22解析依题意得F(1，0)，设M(1，t)(t0)，|PF|PM|，在方向上的投影为，|MF|2，2，解得t2，P(1，2)，FPM为直角三角形，且其外接圆圆心为(0，1)，半径为，故FPM的外接圆的方程x2(y1)22.16(2016合肥六校
12、)已知点P和Q的纵坐标相同，P的横坐标是Q的横坐标的3倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2，若C1的渐近线方程为yx，则C2的渐近线方程为_答案y3x解析设Q(x1，y1)，P(3x1，y1)，根据双曲线的对称性设C1的方程为1(a0，b0)，则1，即C2的方程为1.因为C1的渐近线方程为yx，所以，所以C2的渐近线方程为yx，即y3x.17(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析由题意可得B(a，)，C(a，)，F(c，0)则由BFC90，得(ca，)(ca，)c2a2b20，化简得
13、ca，则离心率e.18(2016黄山七校)已知点P是抛物线C1：y24x上的动点，过点P作圆C2：(x3)2y22的两条切线，则两切线夹角的最大值为_答案解析由已知得，圆心C2(3，0)，半径为.设点P(，y0)，两切点分别为A，B，要使两切线的夹角最大，只需|PC2|最小，|PC2|，当y024时，|PC2|min2，APC2BPC2，APB.19(2016衡中调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O、A、B，若ABO的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_答案解析由题意可得双曲线的渐近线方程为yx，与抛物线C2：x22py联
14、立，可得x0或x，取A(，)，设垂心H(0，)，则kAH，而OAB的垂心为C2的焦点，则有()1，可得5a24b2，则有5a24(c2a2)，故e.20(2016湖南六校联考)已知椭圆C的方程为1，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，直线x4与直线PA、PB分别交于M、N两点；若D(7，0)，则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为_答案(1，0)解析设点P(x0，y0)、M(4，yM)、N(4，yN)，则直线PA、PB所在的直线方程分别为y(x2)、y(x2)，依题意，可求得yM，yN.(3，yM)，(3，yN)，9，又1，123x024y02，即9
15、，0，MN为过D、M、N三点的圆的直径通解：设定点为E(t，0)，则MN为线段DE的垂直平分线，又线段MN为圆的直径，令圆心为F(4，a)，可得|EF|FD|，即，解得t1或7(舍)，所以定点坐标为(1，0)优解：设定点E(t，0)，则MN为线段DE的垂直平分线，所以点E与点D关于直线x4对称，故定点为E(1，0)1(2016长春监测)过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为()A10 B13C16 D19答案B解析由题可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|P
16、M|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故选B.2(2016石家庄质检)已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B1C2 D4答案C解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，AB中点坐标为(，)，()2()22，即x1x22，SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x22，故选C.3(2016衡阳二模)已知双曲线1(a0，b0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线
17、的右焦点，且AFBF，设ABF，且，则该双曲线离心率e的取值范围为()A，1 B，2C，2 D，1答案A解析在RtABF中，|OF|c，|AB|2c，|AF|2csin，|BF|2ccos，由题中条件知|BF|AF|，|BF|AF|2c|cossin|2a，e，cos()，|cos()|，e，14(2016南昌调研)已知双曲线：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，(0)，其中A、B为双曲线右支上的两点若在AF1B中，F1AB90，|F1B|AB|，则双曲线的离心率的平方的值为()A52 B52C6 D6答案B解析(0)，A、F2、B三点共线在AF1B中，F1AB90，|F1B|AB|
18、，故AF1B是等腰直角三角形设|AF2|m，由|AF1|AF2|2a，得|AF1|2a|AF2|2am，又|AF1|AB|AF2|BF2|m|BF2|，|BF2|2a，又|BF1|BF2|2a，|BF1|4a，依题意|BF1|AF1|，即4a(2am)，m2(1)a，在RtF1AF2中，|AF1|2|AF2|24c2，即8a2(2a2a)24c2，即c25a22a2，e252，故选B.5(2016开封模拟)已知点A(0，2)，抛物线C1：y2ax(a0)的焦点为F，射线FA与抛物线C1相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|MN|1，则a的值等于_答案4解析过点M作准线的垂线，垂足为H，则|FM|MH|，tanNMH2，即kMF2，2，解得a4.