1、第8部分：立体几何一、选择题:1（2010年高考山东卷文科4）在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。2（2010年高考福建卷文科3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A. B.2 C. D.6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，
2、侧面积为，选D.【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。3(2010年高考北京卷文科5)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：4(2010年高考北京卷文科8)如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；5(2010年高考江西卷文科11)如图，是正方体的棱的中点，给出下列四个命题：过点有且
3、只有一条直线与直线都相交；过点有且只有一条直线与直线都垂直；过点有且只有一个平面与直线都相交；过点有且只有一个平面与直线都平行其中真命题是A B C D 6. (2010年高考浙江卷文科8)若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3解析：选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题7(2010年高考安徽卷文科9)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加
4、上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。8（2010年高考辽宁卷文科11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为9. (2010年高考宁夏卷文科7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2【答案】B 解析：根据题意球的半径满足，所以10（2010
5、年高考广东卷文科9）如图1， 为正三角形，则多面体的正视图(也称主视图)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m11（2010年高考重庆卷文科9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， 所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等12（2010年高考陕西卷文科8）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是B（A）2（B）1（C）（D）【答案】B【解析】由所给三视图知，对应
6、的几何体为一倒放的直三棱柱（如下图所示），其高为，底面满足：，故该几何体的体积为.故选B.13（2010年高考湖北卷文科4）用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.A. B. C. D.【答案】C14（ 2010年高考全国卷文科6）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，15（ 2010年高考全国卷文科9）正方体-中，与平面所成角的
7、余弦值为（A） （B） （C） （D）ABCDA1B1C1D1O9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，16（ 2010年高考全国卷文科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体
8、ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.17（2010年高考全国卷文科11）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个【解析】D：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱
9、面上，三个圆柱面有无数个交点，18（2010年高考全国卷文科8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。ABCSEF过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， 19（2010年高考四川卷文科12）半径为的球的直
10、径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是高考#资*源网（A） （B）（C） （D）解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBACcosBACw_w w. k#s5_u.c o*m连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD而ACR,CDR故MN：CDAN:AC MN，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是答案：A二、填空题：1（2010年高考天津卷文科12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱
11、，棱柱的高为1，梯形的上下底面边长分别为1、2，梯形的高为2，所以这个几何体的体积为。【命题意图】本题考查本题考查立体几何中的三视图以及棱柱体积的求解,考查空间想象能力与识图能力。2(2010年高考江西卷文科16)长方体的顶点均在同一个球面上，则，两点间的球面距离为 3（2010年高考上海卷文科6）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 96 。解析：考查棱锥体积公式4（2010年高考辽宁卷文科16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为5
12、 。(2010年高考宁夏卷文科15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱【答案】6（2010年高考湖北卷文科14）圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm.【答案】4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.7（2010年高考湖南卷文科13）图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm8（2010年高考全国卷文科16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆
13、，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 。【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识OMNEAB ON=3，球半径为4，小圆N的半径为，小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB， NE=，同理可得，在直角三角形ONE中， NE=，ON=3， ， ， MN=39（2010年高考四川卷文科15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为60CD又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角设AD2，则AC，CD1w_w w.
14、k#s5_u.c o*mAB4sinABC答案：w_w w. k#s5_u.c o*m三、解答题：1（2010年高考山东卷文科20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥与四棱锥的体积 之比.【命题意图】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。【解析】（I）证明：由已知MA 平面ABCD，PDMA， 所以 PD平面ABCD又 BC 平面ABCD，因为 四边形ABCD为正方形，所以 PD BC 又 PDDC=D， 因此 BC平面PDC在PBC中
15、，因为G平分为PC的中点，所以 GFBC因此 GF平面PDC又 GF 平面EFG，所以 平面EFG平面PDC.（ ）解：因为PD平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2，ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3 由于 DA面MAB的距离 所以 DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥 Vp-MAB=1/31/2122=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。2（2010年高考天津卷文科19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45
16、.（）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （）证明CD平面ABF；（）求二面角B-EF-A的正切值。【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.【解析】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA/ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在RtCDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.()证明：过点B作BG/CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.()解：由（）
17、及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC/AD,所以BC/EF.过点N作NMEF，交BC于点M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.3（2010年高考福建卷文科20）（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH/A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。 （I）证明：AD/平面EF
18、GH； （II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。4(2010年高考北京卷文科17)（本小题共13分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDF;证明：（）设AC于BD交于点G。因为EFAG,且EF=1，AG=AG=1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AFEG 因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE （）
19、连接FG。因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG=G,所以CF平面BDE.5(2010年高考江西卷文科20)（本小题满分12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则 又平面平面BCD，则平面BCD，所以MO/AB，A、B、O、M共面延长AM、BO相交于E，则就是A
20、M与平面BCD所成的角，则，所以，故（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形作于F，连AF，则，就是二面角的平面角，设为因为，所以，所以，所求二面角的正弦值是 设平面ACM的法向量为，由得解得，取平面BCD的法向量为则设所求二面角为，则6. (2010年高考浙江卷文科20)（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点。（）求证：BF平面ADE；（）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值。解析：本题主要考查
21、空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。 ()证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FGCD，FG=CD.BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BFEG因为平面，BF平面所以 BF/平面（）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a 则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连CE 因为在BCE中，可得CE=a,在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD,可知AM平面BCD,AMCE.取A
22、E的中点N，连线NM、NF，所以NFDE,NFAM.因为DE交AM于M,所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE新成角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,则cos=.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.7(2010年高考安徽卷文科19) (本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同
23、时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.8（2010年高考上海卷文科20）（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分
24、7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略9（2010年高考辽宁卷文
25、科19）（本小题满分12分） 如图，棱柱的侧面是菱形，（）证明：平面平面；（）设是上的点，且平面，求的值. 解：（）因为侧面BCC1B1是菱形，所以又已知所又平面A1BC1，又平面AB1C ，所以平面平面A1BC1 . （）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B/平面B1CD，所以A1B/DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.9(2010年高考宁夏卷文科18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。解： (1)因为PH是四
26、棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. .9分 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= .12分。10（2010年高考广东卷文科18）（本小题满分14分）如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平
27、面BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离. （1）证明：点E为弧AC的中点 11（2010年高考重庆卷文科20）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.（）证明：平面；（）若，求二面角的平面角的余弦值. 12（2010年高考陕西卷文科18）(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCA
28、D,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.13（2010年高考湖北卷文科18）（本小题满分12分） 如图，在四面体ABOC中，OCOA。OCOB，AOB=120，且OA=OB=OC=1（）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQOA；（）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。14（2010年高考湖南卷文科18）（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，A
29、B=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M115（ 2010年高考全国卷文科20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .（20）解法一： ()连接BD,取DC的中点G，连接BG, 由此知 即为直角三角形，故. 又,所以，.作，故内的两条相交直线都垂直. , ,所以，.解法二： 以D为坐标原点，射线为轴的
30、正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设则,.(), 设平面的法向量为,由,() 由（）知,取中点F，则,故,由此得. 又,故由此得,向量与的夹角等于二面角的平面角.于是 ,所以，二面角的大小为120.16（2010年高考全国卷文科19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB （）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线； （）设异面直线AB与CD的夹角为45,求二面角A-AC-B的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。17（2010年高考四川卷文科18）（本小题满分12分）在正方体ABCDABCD中，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；w_w w. k#s5_u.c o*m
