1、第二届“南方杯”数学邀请赛十年级(高一)第2试2007年5月13日 上午8：30至10：30一、选择题：以下每题的四个选项中仅有一个是正确的，请将表示正确答案选项的英文字母填写在答题卡中的表格内（每小题6分，共36分）.1若，且，则的取值范围是( ).A B. C. D. 不同于A、B、C的另一个答案2. 设指数函数及实数满足，则的值等于( ).A729B. 2007C. D. 条件不够，函数值之积不可能确定3若点在曲线上，则P到直线距离的最小值是( ).AB. C. D. 4若圆上有且仅有三个点到直线（a是实数）的距离为1，则a等于( ).AB. C. D. 5若实数x、y满足：，且，则函数
2、的最小值等于( ).A8B. 9C. 10D. 11AA1DBCB1C1EF图16如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB = BC = 1，BB1 = 2，作C1EB1C分别交B1C、BB1于点F、E，则点F到平面A1C1C的距离为( ).AB. C. D. 二、填空题（每题9分，共54分）7若集合，则A的含有不少于2个元素的真子集的个数为 .8若k是实数，关于a、b的方程组有实数解，则k的取值范围是 .9若k是正整数，则k的取值范围是 .10设（其中，k为实数常数），且是定义在R上的奇函数. 令( m、n均为实数常数)，若，则等于 .11数1260的不被9除尽的正因数有 个。12
3、. 若a为常数，且|a|1，则关于x的方程的实数解的个数为 （填上一个具体的数字，或填上“不能确定，与a的具体取值有关”）.三、解答题（每题15分，共60分）13. (本题满分为15分)设k是实数，.(1) 求证：所有这样的抛物线都经过同一个定点P，并求出点P的坐标；(2) 求证：所有这样的抛物线的顶点都在同一条抛物线上，并求出的解析式；(3) 求出所有的k，使得与x轴的两个交点皆为整数点（即的根均是整数）.14.（本题满分为15分）设a是一个给定的实数，试求所有的函数（R为全体实数的集合），使得对于任何的，都有，及.15.（本题满分为15分）试求出所有的正整数对a、b，使得，且a与b的最小公
4、倍数为26190.16.（本题满分为15分）ABCP图2如图2，在ABC中，AB = BC，点P是ABC内部的一点，. 若AP = 4，BP = 5，CP = 3，试求ABC的面积.第二届“南方杯”数学邀请赛参考答案十年级(高一)第2试 2007年5月13日上午8：30至10：30一、选择题：题号123456选项DADBCC二、填空题：题号789101112选项244三、解答题：13解：(1) ，显然，当时，（与k无关），故定点P为3分(2) 的顶点的坐标为消去k得：，即，这就是的顶点所在的那条抛物线方程，即6分(3)解法1：设，即的两个整数根为、，且，则7分消去k得：，9分 ， 所以（41是
5、素数），11分从而或或13分以上仅是必要条件，下面来逐一检验：当时，方程为，即，合乎题目要求。当时，方程为，即，合乎题目要求。综上所述，所求的整数。15分解法2：（利用判别式）设，即的两个整数根为、，且，则，7分而，于是（t为非负整数），9分 所以（41为素数），11分从而或或13分检验如下：当时，合乎要求。当时，合乎要求。综上所述，所求的整数。15分14解：由题意知：对于任意的，都有，及由和得：，即 6分由和得：，即，于是10分把代入得：（是存在的必要条件）12分综上可知：若，则（），显然满足所有条件。 若，则满足要求的不存在。15分15解：令，(k为a与b的最大公因数，且a1与b1互素，)3分由得：（149为素数）4分因为a与b的最小公倍数，5分所以（97为素数）6分由，得：，且所以。9分下面进行分类讨论：(1) 若，则，即，由此可知：令，代入得：，即，其判别式。显然，所以不是完全平分数，从而无整数根，故不合要求。12分(2) 若，则消去a1得：，从而，所以，从而15分综上所述，所求的正整数。16解：如图，因为AB = BC，所以可在ABC的外面取一点P1，使得3分于是P1B = PB = 5，P1C = PA = 4，记，则，即，由勾股定理得：，6分所以为正三角形从而，9分于是，ABCP图2 。12分15分
