1、天津市和平区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题1.下列运算正确的是（ ） A.(-1x)=-1x2B.(x3+1)=3x2+1C.(log2x)=1xln2D.(cosx)=sinx2.现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”， B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 P(B|A)= （ ） A.13B.47C.23D.343.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程y=bx+a，计算得b=7，则当投入10万元广告
2、费时，销售额的预报值为（）A.75万元B.85万元C.99万元D.105万元4.若 (x+2x2)n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） A.360B.180C.90D.45 5.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数 19 的一种方法例如：3可表示为“ ”，26可表示为“ = ”现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19 这9数字表示两位数的个数为（ ） A.13B.14C.15D.166.设函数 f(x)=2sin(x+3)(xR) ，下列结论中错误的是（ ） A.f(x) 的
3、一个周期为 2B.f(x) 的最大值为2C.f(x) 在区间 (6，23) 上单调递减D.f(x+3) 的一个零点为 x=67.已知函数 f(x)=12ax2+2ax+lnx 在区间 (0,+) 上为增函数，则实数a的取值范围是（ ） A.0,1B.0,+)C.(-1,+)D.(-1,1)8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A.96B.84C.60D.489.已知函数 f(x)=lnx,x11e(x+2)(x-a),x1 （ a 为常数， e 为自然对数的底数）的图象在点 A(e,1) 处的切线
4、与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.-3-22a-3+22B.a-2 或 -3+22a23C.-3+22aD.a-3-22 或 -3+22a23二、填空题10.求值 cos330= _. 11.随机变量服从正态分布N(1,2)，已知P(0)=0.3，则P(0,0 ， -0 )个单位长度，所得函数的图象关于 y 轴对称，求 的最小值. 20.设 f(x)=x-aex ( aR )， xR ， （1）求 f(x) 的单调区间： （2）已知函数 y=f(x) 有两个零点 x1 ， x2 ，且 x10 ,所以 -1x2+2x0 ,所以 a0 。故答案为：B. 【分析】利
5、用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数 f(x)=12ax2+2ax+lnx 在区间 (0,+) 上为增函数， 从而结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A.96B.84C.60D.48【答案】 B 【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法共有A42+2A43+A44=84故选B【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分
6、别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果9.已知函数 f(x)=lnx,x11e(x+2)(x-a),x1 （ a 为常数， e 为自然对数的底数）的图象在点 A(e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.-3-22a-3+22B.a-2 或 -3+22a23C.-3+22aD.a-3-22 或 -3+22a23【答案】 D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】由 f(x)=lnx ， x1 ，得 f(x)=1x ，则 f （e） =1e ， f(x) 在点 A(e,1) 处的切线方程为： y=1e
7、x 由于函数 y=f(x)=1e(x+2)(x-a) ， x1 由联立方程组可得： y=1exy=1e(x+2)(x-a),x1 ，化简得： x2+(1-a)x-2a=0 要使得函数 f(x) 在点 A(e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点， 切线与 f(x)=lnx ， x1 ，在 A(e,1) 点有一个交点， 只需要满足式 x2+(1-a)x-2a=0 在 x0 和抛物线对称轴小于1，且当 x=1 时 x2+(1-a)x-2a0 ，才能保证在 x01+(1-a)-2a0-(1-a)201+1-a-2a0a-12 ，解得： (-,-3-22)(-3+22,+)a23a3 ，所以实
8、数 a 的取值范围为 a-3-22 或 -3+22a23 。故答案为：D 【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，所以f(x) 在点 A(e,1) 处的切线方程为： y=1ex ，由于函数 y=f(x)=1e(x+2)(x-a) ， x1 ，由联立方程组化简得： x2+(1-a)x-2a=0 ，要使得函数 f(x) 在点 A(e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，再利用两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，因为切线与 f(x)=lnx ， x1 ，在 A(e,1) 点有一个交点，所以只需要满足式 x2+(1-a)x-2a=0 在
9、 x0 和抛物线对称轴小于1，且当 x=1 时 x2+(1-a)x-2a0 ，才能保证在 x1 内有两个不相同的实数根，从而求出实数a的取值范围。 二、填空题10.求值 cos330= _. 【答案】32【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】 cos330=cos(360-30)=cos30=32 ，故填 32 . 【分析】利用诱导公式可得 cos330=cos30 ，从而得到求解的值.11.随机变量服从正态分布N(1,2)，已知P(0)=0.3，则P(2)=_. 【答案】 0.7 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，概率的应用 【解析】【解答】随机变量服从正态分布N(1,2
10、)，曲线关于x=1对称， P(2)=0.3，P(2)=10.3=0.7。点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1。 【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布N(1,2)， 再利用正态分布对应的函数的图象的对称性，从而求出 P(0,0 ， -0 )的部分图象如图所示，则 f(x) 的解析式为 f(x)= _. 【答案】2sin(2x-3)【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】由图可知最大值为2，故 A=2 ， 由图可知 34T=512-(-3) ，所以 T= ，又因
11、为 T=2 ，所以 =2 ，故 f(x)=2sin(2x+) ，又因为函数经过点 (512,2) ，即 2=2sin(2512+) ，所以 1=sin(56+) ，又因为 -0 )个单位长度，所得函数的图象关于 y 轴对称，求 的最小值. 【答案】 （1）因为 x2+42+k(kZ) ，即 x2+2k(kZ) ，所以函数 f(x) 的定义域 x|x2+2k(kZ)f(x)=23tan(x2+4)cos2(x2+4)-sin(x+)=23sin(x2+4)cos(x2+4)cos2(x2+4)-sin(x+)=23sin(x2+4)cos(x2+4)-sin(x+)=3sin(x+2)-sin(
12、x+)=3cosx+sinx=2sin(x+3)T=21=2所以函数 f(x) 的最小正周期 2 ，（2）因为将函数 f(x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变， 所以 y=2sin(2x+3) ，因为又向右平移 ( 0 )个单位长度，所以 y=2sin2(x-)+3=2sin(2x-2+3) ，又因为平移后函数的图象关于 y 轴对称，所以 -2+3=2+k(kZ) ，即 =-12-k2(kZ) ，所以当 k=-1 时， 取得最小值，此时 =512 ，所以 取得最小值为 512 .【考点】函数的定义域及其求法，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（x+）的图象变换，
13、图形的对称性 【解析】【分析】（1）利用正切型函数求定义域的方法，从而求出函数f(x)的定义域，再利用同角三角函数基本关系式结合二倍角的正弦公式和诱导公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数最小正周期公式，从而求出正弦型函数f(x)的最小正周期。 （2)利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，从而得出变换后的图像解析式，再利用图象的对称性结合已知条件，从而求出=-12-k2(kZ) ，所以当 k=-1 时， 取得最小值，此时 =512 ，进而求出 的最小值。20.设 f(x)=x-aex ( aR )， xR ， （1）求 f(x) 的单调区间： （2）已知函数 y=f(x)
14、 有两个零点 x1 ， x2 ，且 x10 在 R 上恒成立，所以 f(x) 的单调递增区间为 (-,+) ；若 a0 ，令 f(x)=1-aex=0 ，则 x=-lna ，x(-,-lna) 时， f(x)0 ， f(x) 的单调递增；x(-lna,+) 时， f(x)0 ， f(x) 的单调递增区间为 (-,-lna) ，单调递减区间为 (-lna,+)（2）（i）由（1）知：函数 y=f(x) 有两个零点需满足 a0f(-lna)0 ，即 a0-lna-10 ，所以 0a0 ，由已知 x1,x2 满足 a=g(x1),a=g(x2) ，由 a(0,1e) ，及 g(x) 的单调性，可得
15、x1(0,1),x2(1,+) ，对于任意 a1,a2(0,1e) ，设 a1a2 ， g(1)=g(2)=a1 ，其中 0112 ； g(1)=g(2)=a2 ，其中 011a2 ，即 g(1)g(1) ，可得 11 ，同理可得 210 得 21210f(-lna)0 ，从而求出实数a 的取值范围。 （ii）因为 f(x)=x-aex=0 ，则 a=xex ，令 g(x)=xex ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 g(x) 在 (-,1) 上单调递增，在 (1,+) 单调递减，并且 x(-,0 时， g(x)0 ，当 x(0,+) 时， g(x)0 ，由已知 x1,x2 满足 a=g(x1),a=g(x2) ，由 a(0,1e) 及 g(x) 的单调性，可得 x1(0,1),x2(1,+) ，对于任意 a1,a2(0,1e) ，设 a1a2 ， g(1)=g(2)=a1 ，其中 0112 ； g(1)=g(2)=a2 ，其中 011a2 ，即 g(1)g(1) ，可得 11 ，同理可得 210 得 212121 ，从而证出 x2x1 随着 a 的减小而增大。
