1、概率、随机变量及其分布12015全国卷改编 投篮测试中，每人投篮3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率都为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_22015广东卷改编 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取两个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为_32014新课标全国卷改编 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_42015福建卷 如图191所示，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，
2、4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_图19152015广东卷 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，则p_62014浙江卷 随机变量的取值为0，1，2.若P(0)，E()1，则D()_72015湖北卷改编 设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图192所示给出以下四个结论：P(Y2)P(Y1)；P(X2)P(X1)；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)其中正确结论的序号是_图19282015湖南卷改编 在如图193所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分
3、(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为_图193考点一古典概型与几何概型题型：选择、填空、解答分值：512分难度：基础 热点：不同类型的概率的计算考向一求古典概型的概率1 三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为_听课笔记 小结 求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏考向二与长度、角度有关的几何概型问题2 已知圆O：x2y212，直线l：4x3y25，则圆O上的点到直线l的距离小于2的概率为_听课笔记 小结 与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题计
4、算与线段长度有关的几何概型的方法是：求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求考向三与面积有关的几何概型问题 3 如图194所示，图194大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为()A. B.C. D.听课笔记 小结 计算与面积相关的几何概型的方法：算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求考向四随机模拟的应用 4 某高二学生练习投篮
5、，每次投篮命中率约为30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果经随机模拟产生了如下随机数：807956191925271932813458569683431257393027556488730113527989据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为()A0.15 B0.25C0.2 D0.18听课笔记 小结 每次命中率约为30%，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C0.320.70.189，与随机
6、模拟方法求得的概率具有差异随机模拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的考点二相互独立事件和独立重复试验题型：选择、填空、解答分值：512分难度：基础热点：独立事件概率的计算 5 某项比赛规则是：图195甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为，负的概率为，且各场比赛互不影响已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图195所示(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；(2)求甲队在团体赛中至少有2名队员获
7、胜的概率听课笔记 小结 在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答式题 2015安徽卷 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学
8、期望) 考点三随机变量的分布列、均值与方差题型：解答分值：12分难度：中等热点：求离散型随机变量的期望和方差考向一离散型随机变量的分布列 6 2015福建卷 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望听课笔记 小结 求离散型随机变量分布列的关键有两点：一是确定离散型随
9、机变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率考向二常见的离散型随机变量的概率分布模型 7 某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下：组距频数频率100，102)170.17102，104)180.18104，106)240.24106，108)ab108，110)60.06110，11230.03合计1001(1)求上表中a，b的值；(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；(3)该基地从高度在区间108，112内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在
10、区间110，112内的有X株，求X的分布列和数学期望听课笔记 小结 常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：超几何分布和二项分布从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球注意从摸球模型理解这两个分布考向三离散型随机变量的期望与方差 8 图196 将一个半径适当的小球放入如图196所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入B袋中的小球个数，求的分布列和数学期望听课
11、笔记 小结 求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差 高考易失分题15 求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题范例 某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元根
12、据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨互不影响(1)若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益；(2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理 失分分析 (1)对问题的实际意义理解不透，弄错的取值；(2)求取各个值的概率时出现计算方面的错误；(3)对采用方案采茶的总预期收益的意义理解错误，不能正确求出采用方案采茶的总预期收益；(4)找错两种方案优劣的比较标准高考预测 为迎接中秋节，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n
13、元活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动终止假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大？ 概率随机变量及其分布 核心知识聚焦1.0.648解析 记事件M恰好投中2次，N3次都投中，E通过测试，则事件M与N互斥，且EMN.又P（M）C（0.6）2（10.6）0.432，P（N）C（0.6）30.216，所以P（E）P（MN）P（M）P（N）0.648.2. 解析 设取的2个球中恰有1个白球，1个红球为事件A，则P（A）.3.0.8解析 设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量
14、为优良”为事件B，则P（A）0.75，P（AB）0.6，由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，根据条件概率公式得P（B|A）0.8.4.解析 矩形ABCD的面积为4，矩形中空白部分的面积为x2dx1，故阴影部分面积为4，所以所求概率为.5.解析 由np30，np（1p）20，得1p，所以p.6.解析 设P（1）x，P（2）y，则 所以D（）（01）2（11）2（21）2.7.解析 根据正态分布密度曲线可知21，所以P（Y2）1，所以P（X2）P（X1），故不正确；对任意正数t，P（Xt）P（Yt），故正确.8.3413解析 设X服从标准正态分布N（0，1），则P（0X1）P（1X
15、1）0.341 3，故所投点落入阴影部分的概率P，得n3413. 考点考向探究考点一古典概型与几何概型考向一求古典概型的概率 例1解析 三位学生两位老师站成一排，有A120（种）站法，老师站在一起，共有AA48（种）站法，故老师站在一起的概率为.考向二与长度、角度有关的几何概型问题 例2解析 圆心O到直线l的距离为5.设与直线l平行且距离为2，并与圆O相交的直线为l，如图所示，此时圆心O到直线l的距离为3，则直线l截圆O所得的劣弧上的点到直线l的距离小于2，圆O的半径为2 ，所以直线l截圆O所得的劣弧所对的圆心角为60，所以所求的概率为.考向三与面积有关的几何概型问题例3B解析 因为大正方形的
16、面积是34，所以大正方形的边长是.由直角三角形的较短直角边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，所以黄豆恰好落在小正方形内的概率为.考向四随机模拟的应用例4C解析 随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次命中的有191，271，027，113，共4组，所以所求概率约为0.2.考点二相互独立事件和独立重复试验例5解：（1）由题中数据可知，x甲88，x乙88，所以s（9254644）21.2，s（016251625）16.4.（2）设“甲队中参加个人赛成绩为第i名的队员在团体赛中获胜”为事件Ai（i1，2，3）.由题意可知P（A1），P（A2）P（A3）
17、，且A1，A2，A3相互独立.设“甲队至少有2名队员获胜”为事件E，则EA1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3，故P（E）.变式题解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）.（2）X的可能取值为200，300，400.P（X200），P（X300），P（X400）1P（X200）P（X300）1.故X的分布列为X200300400P所以E（X）200300400350.考点三随机变量的分布列、均值与方差考向一离散型随机变量的分布列例6解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）.（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P（
18、X1），P（X2），P（X3）1，所以X的分布列为X123P所以E（X）123.考向二常见的离散型随机变量的概率分布模型例7解：（1）易知a1001718246332，b0.32.（2）该基地榕树树苗的平均高度约为105.02（cm）.（3）由频率分布表知树苗高度在区间108，112内的有9株，在区间110，112内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3.P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）.故X的分布列为X0123P所以E（X）0123.考向三离散型随机变量的期望与方差例8解：(1)记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N.若小球
19、落入A袋中，则小球一直向左落下或一直向右落下，故P(M)，从而P(N)1P(M)1.(2)显然，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4，且B(4，)，故P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，P(4)C.故的分布列为01234P故的数学期望E()4. 高考易失分题15 范例解：(1)设茶厂14日当天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6，3，1.5.P(6)，P(3)，P(1.5).所以的分布列为631.5P所以的数学期望E()631.53.84，即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元(2)茶厂若采用方案，设茶厂13日采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3.因为P(6)
20、，P(3)，所以的分布列为63P所以的数学期望E()634.8，所以若茶厂采用方案，则采茶的总收益为64.83.8414.64(万元)；若茶厂采用方案，则采茶的总收益为633.214.8(万元)因为14.64时，E()E()，即先回答问题A，再回答问题B，该参与者获奖金额的期望值较大；当时，E()E()，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，该参与者获奖金额的期望值相等；当时，E()6.635，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关(2)由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为.由题意可知XB(3，)，则P(Xi)C()i()3i(i0，1，2，3)，从而X的分布列为X0123PE(X)3，D(X)3(1).
