1、第三章导数应用2 导数在实际问题中的应用第21课时 最大值、最小值问题基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.能够利用导数求解函数在区间中的最值.2.理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题.3.形成求解优化问题的思路和方法.基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1函数y2x33x212x5在2,1上的最大值，最小值分别是()A12，8 B1，8C12，15 D5，16A解析：y6x26x12，由y0 x1或x2(舍去)x2时y1；x1时y12；x1时y8，ymax12，ymin8.故选A.2函数yxsinx，x2，的最大值是()A1 B.21C
2、 D1C解析：由题意得y1cosx，当x2，时，y0，则函数在区间2，上为增函数，所以ymaxsin，故选C.3若函数yx3 32 x2m在2,1上的最大值为92，则m等于()A0 B1C2 D.52C解析：y3x23x3x(x1)，令y0，得x0或x1.设f(x)yx332x2m，因为f(0)m，f(1)m12，又f(1)m52，f(2)m2，所以f(1)m52最大，所以m5292，所以m2，故选C.4电动自行车的耗电量y与速度x有如下关系：y 13 x3 392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为()A30 B35C40 D45C解析：yx239x40，令y0，得x11(舍
3、)，x240.当x(0,40)时，y0，则x40是函数的极小值点，也是最小值点故选C.5某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2.则最大毛利润(毛利润销售收入进货支出)为()A30元B60元C28 000元D23 000元D解析：设毛利润为L(P)元，由题意知L(P)Q(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以，L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000(元)
4、根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元6在半径为R的半球内有一内接圆柱(如图)，则这个圆柱的体积的最大值是()A.2 39 R3 B.4 39 R3C.2 33 R3 D.49R3A解析：设圆柱的高为h，则圆柱的底面半径为R2h2，圆柱的体积为V(R2h2)hh3R2h(0h0，f(x)在(0,1)上递增，f(x)在x0处取得最小值，显然不合题意若a0，由f(x)0解得x a，当x a时，f(x)0，f(x)为增函数，当0 x a时，f(x)0，f(x)为减函数f(x)minf(a)，则0 a1，解得0a0，恒有lnxpx1(p0)，则p
5、的取值范围是()A(0,1 B(1，)C(0,1)D1，)D解析：原不等式可化为lnxpx10，令f(x)lnxpx1，故只需f(x)max0.由f(x)1x p知f(x)在 0，1p上单调递增；在1p，上单调递减故f(x)maxf 1p lnp，即lnp0，解得p1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9函数f(x)x33x在(0，)上的最小值为.4解析：f(x)3x2 3x23x21x2.令f(x)0，即x2 1x20，解得x1.因为x0，所以x1.当0 x1时，f(x)1时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极小值，也为最小值，则f(x)minf(1)4.10某公司生产
6、某种产品，固定成本为20 000元，且每生产1单位产品，成本增加100元已知年总营业收入R与该年生产的产品单位数x的函数关系是R(x)400 x12x2，0 x400，80 000，x400，则年总利润最大时，该年生产的产品单位数是.300解析：由题意，设年总成本函数为C(x)20 000100 x，年总利润函数为P(x)R(x)C(x)300 xx22 20 000，0 x400，60 000100 x，x400，P(x)300 x，0 x400，100，x400.令P(x)0，得x300.当x400时，P(x)0恒成立，易知当x300时，年总利润最大11设函数f(x)ax33x1(xR)，
7、若对任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为4，)解析：由题意得，对任意的x(0,1，都有a 3x2 1x3.设g(x)3x2 1x3，则g(x)312xx4.令g(x)0，得x 12.当0 x0；当12x1时，g(x)0，则由f(x)0，得1x0；由f(x)0，得0 x2.f(x)maxf(0)3，从而b3.若f(1)29，则a327，此时f(2)4917 29，f(2)29，a2.若a0，则由f(x)0，得1x0，得0 x3，f(2)3，a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.13(13分)某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地
8、至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时1 250元(1)请把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数，并指明定义域；(2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：(1)由题意得y600 x(1 2500.5x2)750 000 x300 x，即y750 000 x300 x(0 x60)(2)由(1)知，y750 000 x2300，令y0，解得x50，或x50(舍去)当0 x50时，y0，当500，因此，函数y 750 000 x300 x在x50处取得极小
9、值，也是最小值故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶能力提升14(5分)设函数yf(x)在(，)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：fk(x)fx fxk，kfxk，取函数f(x)2xex，若对任意的x(，)，恒有fk(x)f(x)，则()Ak的最大值为2 Bk的最小值为2Ck的最大值为1 Dk的最小值为1D解析：对函数f(x)2xex求导得f(x)ex11ex1.当x0，f(x)在(，0)上是增函数，当x0时，f(x)1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是
10、坐标原点)，证明：m3a2e1.解：(1)函数f(x)的定义域为R.因为f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，所以函数f(x)在R上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)证明：设点P(x0，y0)，由题意知，f(x0)(x01)2e x00，解得x01.所以y0(1x20)ex0a2ea，所以点P的坐标为1，2ea.所以kOPa2e.由题意可得，f(m)(m1)2ema2e.要证明m3a2e1，只需要证明m13a2e，只需要证明(m1)3a2e(m1)2em，只需要证明m1em.构造函数：h(x)exx1(xR)，则h(x)ex1.当x0时，h(x)0时，h(x)0，即h(x)在(0，)上单调递增所以函数h(x)有最小值，为h(0)0，则h(x)0.所以exx10，故emm10，故m1em，故原不等式成立谢谢观赏！Thanks!
