1、第3章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线y24-x2=1的渐近线方程是()A.x2y=0B.2xy=0C.2xy=0D.x2y=02.若抛物线x2=2my的焦点与椭圆x23+y24=1的下焦点重合,则m的值为()A.4B.2C.-4D.-23.(2022四川绵阳一中高二期中)平面上满足到定点F(0,-1)和定直线l:2x+3y+3=0距离相等的点P(x,y)的轨迹是()A.圆B.双曲线C.直线D.抛物线4.(2022山西怀仁高二期中)与椭圆x212+y29=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线的标准方程是()A.x2
2、4-y2=1B.x22-y2=1C.x23-y23=1D.x2-y22=15.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|=|F1F2|,则C的离心率为()A.1B.2C.3D.46.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M的纵坐标为-42,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方程为()A.y2=-16xB.y2=8x或y2=4xC.y2=-8xD.y2=16x或y2=8x7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆的上顶点,直线AF1交椭圆于另一点P,若|PF2|=|PA|,则椭圆的离心率为()A.33B.13C
3、.22D.128.已知焦点在x轴上的椭圆x2a2+y28=1(a0),且a,2,c成等差数列,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则PFPA的最大值为()A.8B.10C.12D.16二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则()A.x0=3B.y0=23C.|OM|=21D.F的坐标为(0,1)10.(2022吉林东北师大附中高二期中)已知关于x,y的方程mx2+ny2=1
4、(其中m,n为参数)表示曲线C,下列说法正确的是()A.若m=n0,则曲线C表示圆B.若mn0,则曲线C表示椭圆C.若mn0,则曲线C表示四条直线11.(2022浙江瑞安中学高二期中)已知双曲线C过点(2,3),且渐近线方程为y=3x,则下列结论正确的是()A.双曲线C的离心率为3B.左焦点到渐近线的距离为3C.双曲线的实轴长为1D.过右焦点被双曲线C截得弦长为6的直线只有三条12.(2022山东嘉祥一中高二期中)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1F1F2,|PF1|=43,|PF2|=143.过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点
5、,且A,B关于点M对称,则下列结论正确的有()A.椭圆的标准方程为x29+y24=1B.椭圆的焦距为5C.椭圆上存在2个点Q,使得QF1QF2=0D.直线l的方程为8x-9y+25=0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022河南名校联盟高二期中)已知椭圆的面积等于l4,其中l是椭圆长轴长与短轴长的乘积,则椭圆x22+y28=1的面积为.14.如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段,宽为7 m,高为0.7 m.根据图中的坐标系,则这条抛物线的方程为.15.双曲线x24-y2b2=1(b0)的离心率为52,则b=;过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为
6、A,设O为坐标原点,则|OA|=.16.已知椭圆x212+y26=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1F2是直角三角形,这样的点P有个.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在双曲线E的焦点在x轴上,双曲线E的焦点在y轴上这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.已知双曲线C的对称轴为坐标轴,且C经过点A(0,6),B(1,3).(1)求双曲线C的标准方程;(2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同,且E的焦距为4,求双曲线E的实轴长.注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)设抛物线C:y2=2px
7、(p0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB的中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|=6.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程.19.(12分)(2022河北唐县一中高二期中)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为12,记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)若直线l:y=x-3和曲线C相交于E,F两点,求|EF|.20.(12分)已知椭圆C:x23+y24=1.(1)求C的四个顶点围成的菱形的面积;(2)若直线y=kx+1与C交于P,Q两点,M(5,0),M
8、PQ的面积为367k2+1,求k的值.21.(12分)(2022广东华南师大附中高二期中)如图,在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池,水池边缘由两个半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)和y2b2+x281=1(x0)组成,其中ab9,“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).(1)求“挞圆”的方程;(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t(0,15),求该网箱所占水域面积的最大值.22.(12分)(2022山东临沂兰山高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A
9、,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,若|FQ|=32c,求直线FQ的斜率.参考答案第3章测评1.C双曲线的标准方程为y24-x2=1,渐近线方程为y24-x2=0,即y=2x.故选C.2.D椭圆x23+y24=1的下焦点坐标为(0,-1),即抛物线x2=2my的焦点坐标,m2=-1,m=-2.故选D.3.C依题意得,点F(0,-1)在直线l上,所以点P的轨迹是过点F且与l垂直的直线.故选C.4.B椭圆x212+y29=1的焦点坐标是(3,0).设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),因为双曲线过点P(2,1),所以4
10、a2-1b2=1,又a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线的标准方程是x22-y2=1.故选B.5.Be=2c2a=|F1F2|PF1|-|PF2|=|F1F2|PF2|=2.故选B.6.D抛物线的准线方程是x=-p2,而点M到准线的距离为6,点M的横坐标是6-p2.将点M6-p2,-42的坐标代入y2=2px,得32=2p6-p2,解得p=8或p=4,故该抛物线的标准方程为y2=16x或y2=8x.故选D.7.A因为A是上顶点,所以|AF1|=|AF2|=a.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF2|=|PA|,则可得|PF1|=a2,|PF2|=3a2.则由余
11、弦定理可得cosAPF2=(3a2)2+(3a2)2-a223a23a2=(3a2)2+(a2)2-(2c)223a2a2,则整理可得a2=3c2,则离心率e=ca=33.故选A.8.C因为椭圆x2a2+y28=1的焦点在x轴上,所以a2=8+c2.又a,2,c成等差数列,所以4=a+c.联立a2-c2=8,a+c=4,解得a=3,c=1,所以椭圆的标准方程为x29+y28=1,左焦点F(-1,0),右顶点A(3,0).设P(x0,y0),则x029+y028=1,所以y02=81-x029,PFPA=(-x0-1,-y0)(-x0+3,-y0)=x02-2x0-3+y02=x02-2x0-3
12、+8-89x02=19x02-2x0+5=19(x0-9)2-4,x0-3,3,当x0=-3时,PFPA最大,为12.故选C.9.AC由题可知F(1,0),由|MF|=x0+1=4,y02=4x0,可得x0=3,y0=23.则|OM|=x02+y02=9+12=21.故选AC.10.ACD若m=n0,则x2+y2=1m0,C表示圆,故A正确;若m0,n0,但C不表示椭圆,故B错误;若mn0,则m0,n=0或m=0,n0,则x=1m或y=1n,C表示四条直线,故D正确.故选ACD.11.BD由已知设双曲线的方程为x2-y23=,因为双曲线过点(2,3),所以2-33=,=1,双曲线的标准方程为x
13、2-y23=1,a=1,b=3,所以c=2,离心率为e=ca=2,故A错误;左焦点为(-2,0),一条渐近线方程是3x-y=0,左焦点到渐近线的距离为d=|-23-0|(3)2+(-1)2=3,故B正确;双曲线实轴长是2,故C错误;双曲线两顶点间的距离为2a=2,又2b2a=231=6,即通径长为6,因此过右焦点被双曲线截得弦长为6的直线有3条,两个交点在同一支上的只有一条,即双曲线的通径所在直线,另两条与双曲线的两支各有一个交点,故D正确.故选BD.12.AD因为PF1F1F2,|PF1|=43,|PF2|=143,所以c=12|PF2|2-|PF1|2=5,a=12(|PF1|+|PF2|
14、)=3,则b=2,所以椭圆的标准方程为x29+y24=1,椭圆的焦距为25,故A正确,B错误;由QF1QF2=0知F1QF2=90,所以点Q在以F1F2为直径的圆上,因为cb,所以圆与椭圆有4个交点,故C错误;因为过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,所以点M(-2,1)为弦AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2,联立x129+y124=1,x229+y224=1,两式相减得直线AB的斜率为kAB=y1-y2x1-x2=-49x1+x2y1+y2=89,所以直线l的方程为y-1=89(x+2),即8x-9y+25=0,
15、故D正确.故选AD.13.4因为a2=8,b2=2,所以a=22,b=2,所以椭圆x22+y28=1的面积为ab=4.14.x2=352y设抛物线方程为x2=2py(p0),因为B72,710,所以494=2710p,解得p=354,所以抛物线的方程为x2=352y.15.12由e=ca=1+b24=52,得b=1.由双曲线的渐近线为y=bax可知,|OA|2=|OF|2-|AF|2=c2-b2=a2=4,所以|OA|=2.16.6当P不是直角顶点时,P为过焦点与x轴垂直的直线与椭圆的交点,易知这样的点有4个;当P是直角顶点时,点P在以F1F2为直径的圆上,c=12-6=6,故圆的标准方程为x
16、2+y2=6,联立x212+y26=1,x2+y2=6,解得x=0,y=6或x=0,y=-6,这样的点P有两个.综上所述,共有6个点满足条件.17.解(1)设双曲线C的方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),则ba=3,2c=4,c2=a2+b2,解得a=1,b=3,c=2.所以双曲线E的实轴长为2.若选,设双曲线E的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则ab=3,2c=4,c2=a2+b2,解得a=3,b=1,c=2.所以双曲线E的实轴长为23.18.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点M的横坐标为x1+x22=2,即x1+x2=4.(1)|AF|+|BF|
17、=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2.故抛物线的标准方程为y2=4x.(2)由(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1,0),故设直线方程为y=k(x-1),k0,联立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,=16k2+160,则x1+x2=2k2+4k2=4.解得k=2,故直线l的方程为2xy-2=0.19.解(1)由题意可得AM,BM的斜率分别为k1=yx+2(x-2),k2=yx-2(x2),由已知得yx+2yx-2=12(x2),化简得x24-y22=1(x2),即曲线C的方程为x24-y22=1(x2),曲线C是一个双曲线(不包含左、右顶点).(2)联立x
18、24-y22=1,y=x-3,消去y整理得x2-12x+22=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),=560,则x1+x2=12,x1x2=22,|EF|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+12122-422=256=47.20.解(1)由题意,可得a2=4,b2=3,所以a=2,b=3,所以C的四个顶点围成的菱形的面积为122a2b=2ab=43.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx+1,x23+y24=1,整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,=36k2+36(4+3k2)=144(k2+1)0,则x1+x2=-6k4+3k2,x
19、1x2=-94+3k2,可得|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(k2+1)4+3k2.又由点M到直线y=kx+1的距离d=|5k+1|k2+1,所以MPQ的面积S=12|PQ|d=6k2+14+3k2|5k+1|=367k2+1,即|5k+1|4+3k2=67,解得k=1或k=1718.21.解(1)易知b=15,a=34-9=25,所以“挞圆”的方程为x2625+y2225=1(x0)和y2225+x281=1(x0).(2)设A(x1,t),B(x2,t)分别是矩形水箱在第一、二象限内的顶点,则x22625+t2225=1,t2225+x1281=1,可得x2=-259x
20、1,所以网箱所占水域面积S=2t(x1-x2)=2t349x1=15342x19t15510t2225+x1281=510,当且仅当x19=t15时,等号成立.故网箱所占水域面积的最大值为510平方米.22.解(1)由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FQ的斜率为1m.由(1)知a=2c,则直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FQ的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43(m=0舍去),即直线FQ的斜率为34.(方法2)依题意,设直线FQ的斜率为k(k0),则直线FQ的方程为y=k(x+c).由(1)知a=2c,则直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0.联立y=k(x+c),x+2y-2c=0,解得x=2(1-k)c1+2k,y=3kc1+2k,点Q坐标为2(1-k)c1+2k,3kc1+2k,由已知|FQ|=32c,有2(1-k)c1+2k+c2+3kc1+2k2=32c2,整理得4k=3,即k=34,即直线FQ的斜率为34.
