1、31.4空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量基本定理提出问题如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题1：e1，e2，e3共面吗？提示：不共面问题2：试用e1，e2，e3表示.提示：4e14e24e3.问题3：若M为A1B1的中点，能否用e1，e1，e3表示？提示：能，4e12e24e3.导入新知空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量化解疑难1空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底基底
2、选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示2由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.3向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础空间向量的正交分解及其坐标表示提出问题a，b，c是空间的一个基底，e1，e2，e3是空间的单位正交基底问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？提示：一定问题2：任一向量pxaybzc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？提示：是问题3：单位正交基底之间的数量积e1e2，e1e3，e2e3，e1e1，e2e2，e3e3分别为多少？提示：e1，e2，e3是两两
3、垂直的单位向量，故有e1e2e2e3e1e30，e1e1e2e2e3e31.导入新知空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y
4、，z)，即点P的坐标为(x，y，z)化解疑难空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e1，e2，e3，be1e2ke3，则b的坐标为(，k).空间向量基本定理的理解例1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，即不存在实数x，y，使xy成立，不共面故，能作为空间的一个基底类题通法
5、判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面活学活用设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个解析：如图，所设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面
6、，可以作为空间的基底因xab，故a，b，x共面，故不能作为基底答案：3空间向量基本定理的应用例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解连接BO，则()(cba)abc，aa()abc，()ac(cb)abc，a.类题通法用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求活学活用如图，已知正方体ABCDABCD，点E是上底面A
7、BCD的中心，求下列各式中x，y，z的值(1) xyz；(2)xyz.解：(1)，又xyz，x1，y1，z1.(2)()，又xyz，x，y，z1.空间向量的坐标表示例3如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标解PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.法一：()()e2e3，.法二：如图所示，连接AC，BD交于点O.则O为AC，BD的中点，连接MO，ON，e2e3.类题通法用坐标表示空间向量的方法步骤为活学活
8、用在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标解：()()4e34e12e22e1e24e3，(2，1，4)()2e24e14e3，(4,2，4).典例在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标解分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A，A1，B1，C1，所以 (0,0,2)，2.易错防范1建系时，误认为与垂直，从而以A为原点，以，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐
9、标系导致错误2在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境成功破障已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长AB2，侧棱BB12，点O，O1分别是AC，A1C1的中点若M为BC1的中点，试建立适当的空间直角坐标系并写出的坐标解： 建系方法不唯一如：连接OB，OO1，则由已知易得，两两垂直，故可以O为坐标原点，以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示故A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，则(，1,0)，(0,2,2)，(). 随堂即时演练1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(
10、)A3a，ab，a2b B2b，b2a，b2aCa,2b，bc Dc，ac，ac解析：选C对于A，有3a2(ab)a2b，则3a，ab，a2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D错误2.如图，在四面体OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，则()A.abc BabcC.abc D.abc解析：选B连接ON(图略)，()(bc)aabc.3设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量a，b的坐标分别为_解析：由空间向量坐标概念知a(2，4,5)，b(1,2，3)答案：(2，4,5)，(1,2，3)4如图所示，点M是OA的中点，以，为
11、基底的向量xyz，则(x，y，z)_.解析：，又xyzx，y0，z1.答案：5棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标：(1)，；(2)，.解：(1)，.(2)， ，.课时达标检测一、选择题1已知点A(3,2，3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是()A(3，2,3)B(3,2，3)C(3,2,3) D(3，2，3)解析：选C由对称定义知选项C正确2设p：a，b，c是三个非零向量，q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，
12、b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底；当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此p/ q，qp.3在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A向量的坐标与点B的坐标相同B向量的坐标与点A的坐标相同C向量与向量的坐标相同D向量与向量的坐标相同解析：选D因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B，C都不正确；由于，所以D正确4已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于()A.B.()C.()D.解析：选B如图，()()()5若向量，的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量
13、，成为空间一个基底的关系是()ABCD2解析：选C若，为空间一组基底向量，则M，A，B，C四点不共面选项A中点M，A，B，C共面，因为()()；选项B中可能共面，但可能；选项D中的四点显然共面二、填空题6设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_解析：由于e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)答案：(4，8,3)，(2，3,7)7已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_.解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是
14、有解得答案：118正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D.，即0.答案：三、解答题9已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c为空间的另一个基底，若向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，试求向量p在基底ab，ab，c下的坐标解：设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)z c(xy)a(xy)bz c.又p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，即pa2b3c，(xy)a(xy)bz ca2b3c，解得p在基底ab，ab，c下的坐标是，3.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EFAB1.证明：设a，b，c，则()()()(abc)，ab.(abc)(ab)(|b|2|a|2)0.，即EFAB1.
