1、专题 1.4 充分条件与必要条件【考点 1：充分条件、必要条件的判断及应用】.1【考点 2：充要条件的判断及应用】.3【考点 3：充分不必要条件的判断及应用】.5【考点 4：必要不充分条件的判断及应用】.7【考点 5：充分、必要、充要条件与集合的关系】.10【考点 1：充分条件、必要条件的判断及应用】【知识点：充分条件、必要条件】若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件1（2023江苏高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程2+=0有实数解的一个必要条件的是()A 12B 14C 12D 14【答案】A【分析】先求出关于的一元二次方程2+=0有实数解的充要条件，结合选项得出
2、其必要条件【详解】因为关于的一元二次方程2+=0有实数解，所以=24=14 1 0，解得 14，而 14可以推出 12，所以 12可以作为关于的一元二次方程2+=0有实数解的一个必要条件，故选：A2（2023高一课时练习）关于 x 的方程+1=0有实根的一个充分条件是（）A=0B=1C 1D 1【答案】B【分析】根据一元一次方程的求解即可判断 0，由充分条件的定义即可求解.【详解】由+1=0=1，要使方程有实根，则 0，故=1是方程+1=0有实根的一个充分条件，故选：B3（多选）（2023江苏高一假期作业）下列命题是真命题的是（）A“x2”是“x3”的必要条件B“x2”是“x24”的必要条件C
3、“ABA”是“ABB”的必要条件Dp：ab，q：acbc，p 是 q 的必要条件【答案】AC【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可.【详解】x3x2，“x2”是“x3”的必要条件，A 是真命题；x2x24，x24 不能推出 x2，“x2”不是“x24”的必要条件，B 是假命题；ABBABA，“ABA”是“ABB”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，C 是真命题；acbc，c0 时，a 3成立的充分条件是（）A 4B 5C 2D 1【答案】AB【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解.【详解】4 3,5 3,2和 1不可推出 3所以使 3成立的充分条件是 4或 5，故选：AB5（2
4、023江苏高一假期作业）“2=2”是“=0”的 条件，“=0”是“2=2”的 条件（用“充分”“必要”填空）【答案】必要 充分【分析】由于=0 2=2，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答.【详解】由于=0 2=2，2=2=2或=0，所以“2=2”是“=0”的必要条件，“=0”是“2=2”的充分条件故答案为：必要；充分6（2022 秋高一校考课时练习）判断:2或 3是:+5的 .【答案】必要不充分条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当=1,=4时，+=5，故充分性不成立，若+5，则=2与=3不同时成立，即能得到 2或 3，故必要性成立，所以:2或 3是:+5的必要不充分
5、条件.故答案为：必要不充分条件.7（2023高一校考课时练习）已知是的充分条件，是的充分条件，是的充要条件，那么是的 .【答案】充分条件【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.【详解】因为是的充分条件，所以.因为 q 是 r 的充要条件，所以.所以，即是的充分条件.故答案为：充分条件.【考点 2：充要条件的判断及应用】【知识点：充要条件】若 pq，则 p 是 q 的充要条件1（2022 秋广东东莞高一校考阶段练习）方程2+2=0与2+2+=0有一个公共实数根的充要条件是（）A=3B=0C=1D=3【答案】D【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值.【详解】方程2+2
6、=0有实根，故=28 0，解得 2 2或 2 2.方程2+2+=0有实根，故=44 0，解得 1.综上所述，2 2，只有 D 选项符合.若方程2+2=0与2+2+=0有一个公共实数根，设公共实根为1，则 21+1+2=021+21+=0，两式相减得(2)1+(2)=0,(2)1=2，由于2 0，所以1=1，所以1+2=0,=3.当=3时，两个方程分别为23+2=0、2+23=0，方程23+2=0的两个根为1,2；方程2+23=0的两个根为1,3；即方程2+2=0与2+2+=0有一个公共实数根.综上所述，方程2+2=0与2+2+=0有一个公共实数根的充要条件是=3.故选：D2（2023江苏高一假
7、期作业）以下选项中，p 是 q 的充要条件的是（）Ap：3+2 5，q：23 5Bp：2,Cp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：0，q：关于 x 的方程=1有唯一解【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】对于 A，:3+2 5 1，:23 5 2,；当=1,=0时，满足 ，但 q 推不出 p，故 p 是 q 的充分不必要条件；对于 C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故 p 是 q 的必要不充分条件；对于 D，若 0，则关于 x 的方程=1有唯一解；若关于 x
8、的方程=1有唯一解，则 0，所以，故 p 是 q 的充分必要条件.故选：D.3（2023云南大理高一统考期末）若“不等式 1成立”的充要条件为“2”，则实数的值为 .【答案】1【分析】解不等式 1，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】解不等式 1得 +1，因为“不等式 1成立”的充要条件为“2”，所以2=+1，解得=1，所以，=1.故答案为：1.4（2022 秋重庆沙坪坝高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“1 1”是“1 2+5”的充要条件，则实数 m 的取值是 【答案】3【分析】先化简1 2+5得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得 m 的取值.【详解】由1 2+
9、5得1 2 5，故12(5)12(1)，因为“1 1”是“1 2+5”的充要条件，所以12(5)=112(1)=1，解得=3，所以实数 m 的取值是 3.故答案为：3.5（2023全国高三专题练习）方程2+1=0 有一正一负根的充要条件是 【答案】1【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】2+1=0 有一正一负根 1 0 1故答案为：1成立的一个充分不必要条件是（）A2 0C2 1【答案】A【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案.【详解】不等式 1成立的一个充分不必要条件是2 0是 1的必要不充分条件，2 1的非充分非必要条件，1是 1的充分必要条件.故选：A2（2023 春陕
10、西西安高二统考期末）“2+2=2”是“2=2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先分别化简“2+2=2”和“2=2”，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】由2+2=2，可得=；由2=2，可得=；则“2+2=2”是“2=2”的充分不必要条件.故选：A3（2023江苏高一假期作业）“0”是“3”的 条件【答案】充分不必要【分析】根据集合的包含关系即可结合充分不必要条件进行求解.【详解】设=|0,=|3,，因为 ，所以“0”是“1”是“”的充分不必要条件，若 Z，则取值可以是 （满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足 1”是“”的充分不必
11、要条件，且 Z，所以 1且 Z，故可取 0，故答案为：0（答案不唯一，满足 1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式构成的集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式 1构成的集合为=|1，不等式的 1构成的集合为=|1，此时满足集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，所以 1时 1的必要不充分条件.故选：B.4（2023 春福建福州高二校联考期末）已知 R，则“1 1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】B【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进
12、行判断【详解】R，由1 1可得1 1或0，所以“1 1”；当 1时，可得：0 1 1”可以推出“1 1”“1 1”的必要非充分条件故选：B5（2023四川成都成都七中校考模拟预测）早在公元 5 世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积1、2总相等，则这两个几何体的体积1、2相等.根据“祖暅原理”，“1=2”是“1=2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据祖暅原理，判断“1=2”与“1=2”之间的逻辑
13、推理关系即可.【详解】根据祖暅原理可知，当1=2时，一定有1=2成立，反之，当1=2成立时，不一定有1=2成立，比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，1，2不一定相等，故“1=2”是“1=2”的必要不充分条件.故选：B6（2023江苏高一假期作业）已知:2 10，:1 1+(0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围【答案】|0 3【分析】由题意可得|1 1+是|2 10的真子集，从而有 1 21+21+10，求解即可.【详解】因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以|1 1+是|2 10的真子集，故有 1 21+21+10解得 3.又 0，所以实数 m 的取值范围为|0
14、 37（2023上海高一专题练习）已知命题：1x2，命题：1xa(1)若 是 必要非充分条件，求实数 a 的取值范围；(2)求证：a2 是 成立的充要条件【答案】(1)a|a2(2)证明见解析【分析】（1）设 Ax|1x2，Bx|1xa，由 是 必要非充分条件，得到 B 是 A 的真子集，分类讨论，求出实数 a 的取值范围；（2）分别证明充分性和必要性即可【详解】（1）设 Ax|1x2，Bx|1xa，若 是 必要非充分条件，则 B 是 A 的真子集，当 B时，a1，此时满足 B 是 A 的真子集，符合题意，当 B时，若 B 是 A 的真子集，则 12，解得 1a2，综上所述实数 a 的取值范围
15、为a|a2，（2）证明：充分性（若 a2，则）若 a2，则x|1x2x|1xa，所以命题：1x2 可得出命题：1xa，故充分性成立，必要性（若，则 a2）若命题：1x2 可得出命题：1xa，则x|1x2x|1xa，所以 a2，故必要性成立，综上所述：a2 是 成立的充要条件【考点 5：充分、必要、充要条件与集合的关系】【知识点：充分、必要、充要条件与集合的关系】p 成立的对象构成的集合为 A，q 成立的对象构成的集合为 Bp 是 q 的充分条件ABp 是 q 的必要条件BAp 是 q 的充分不必要条件ABp 是 q 的必要不充分条件BAp 是 q 的充要条件AB【方法技巧】充分、必要条件的三种
16、判断方法(1)定义法：根据 pq，qp 进行判断(2)集合法：根据 p，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1 或 y1”的何种条件，即可转化为判断“x1 且 y1”是“xy1”的何种条件1（2023全国高一假期作业）已知不等式1 +1成立的充分条件是13 12，则实数的取值范围是（）A 43B 12 或 43C|12 0”的 条件【答案】充分必要【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果.【详解】若 ，则 ，则()()
17、，故(,)0成立，若()()，则 ，所以 ，所以“”是“(,)0”的充要条件，故答案为：充分必要4（2023高一课时练习）已知=|1或 1，=|2 +1(为非空集合)，记:，:，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】2或12 1【分析】根据题意，转化为是的非空真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，=|1或 1，=|2 +1(为非空集合)，因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，可得 2 +12 1或 2 +1+1 1，解得 2或12 1，所以实数的取值范围是 2或12 2；(2)1.【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助 0，求出的取值范围作答.（2）
18、由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程22+2+2=0无实数根，因此=424(2+2)2，所以实数的取值范围是 2.（2）由（1）知，命题是真命题，即:2，因为命题是命题的必要不充分条件，则|1 +3|2，因此+3 2，解得 1，所以实数的取值范围是 1.6（2023高一单元测试）已知全集=R，集合=|1 +1，=|4.(1)当=4时，求 和 (R)；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.【答案】(1)|5，|4 5(2)3【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
19、（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当=4时，集合=|3 5，因为=|4，所以R=|4.所以 =|5，R=|4 5（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集，而不为空集，所以+1 4，因此 3.7（2023 春宁夏银川高二银川一中校考期中）已知集合=|1 3，集合=|2 1(1)若 =，求实数的取值范围；(2)命题:，命题:，若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】(1)0(2)2【分析】（1）讨论=，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；（2）由 p 是 q 成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数
20、的取值范围【详解】（1）由 =，得若2 1，即 13时，=，符合题意；若2 1，即 13时，需 131 1 或 132 3，解得0 22 11 3两个端不同时取等号，解得 2由实数的取值范围为 28（2022 秋高一单元测试）请在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合=|2 6，=|1 1+,0，若 是 成立的_条件，判断实数是否存在？【答案】答案见解析【分析】若选择条件，可得集合 A 是集合 B 的真子集，列出不等式组可得实数 m 的取值范围；若选择条件，可得集合 B 是集合 A 的
21、真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件，列出方程组可得集合 A 等于集合 B 可得答案.【详解】若选择条件，即 是 成立的充分不必要条件，集合 A 是集合 B 的真子集，则有1 21+6，解得 5，所以，实数 m 的取值范围是5,+)；若选择条件，即 是 成立的必要不充分条件，集合 B 是集合 A 的真子集，则有 1 21+6，解得0 3，所以，实数的取值范围是(0,3；若选择条件，即 是 成立的充要条件，则集合 A 等于集合 B 则有 1=21+=6，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数.9（2023云南红河高一统考期末）集合=|1 ，=|1 4.(1)当=2时，求 ；(2)从下面条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数 m 的取值范围条件：是 的充分条件；条件：=；条件：=.注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)|1 4(2)4【分析】（1）根据并集的定义求解；（2）根据相关的定义求解.【详解】（1）当=2时，=1 2，则 =|1 4；（2）若选，则有 ，即 4；若选，则有 ,4；若选，则有 ,4.
