1、考点集训(十七)第17讲导数与函数的综合问题对应学生用书p219A组题1若不等式2xln xx2ax3对任意x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析 2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.答案 B2已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)3，且对任意实数x，总有f(x)3，则不等式f(x)3x15的解集为()A(，4) B(，4)C(，4)(4，) D(4，)解析 设g(x)f(x)(3x15)f(
2、x)3x15，则所求的不等式解集可理解为使g(x)0的解集g(x)的导函数为g(x)f(x)3，根据题意可知g(x)f(x)30对任意实数x恒成立，所以g(x)在R上单调递减则g(4)f(4)12150，令g(x)0，则g(x)4.答案 D3若a，则方程ln xax0的实根的个数为()A0个 B1个C2个 D无穷多个解析 方程ln xax0等价于a，设f(x).f(x)，令f(x)0，得xe，f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，)上单调递减f(x)的最大值f(e)，即f(x)(仅当xe时，等号成立)a，原方程无实根答案 A4某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米
3、/时)的函数解析式为yx3x18(0x120)若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为()A60千米/时 B80千米/时C90千米/时 D100千米/时解析 当速度为x千米/小时，时间为小时，所以f(x)x220(0x120)，所以f(x)x(0x120)，令f(x)0，x90.当x(0，90)时，函数f(x)单调递减，当x(90，120)时，函数f(x)单调递增所以x90时，函数f(x)取得最小值答案 C5某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近
4、似地用如下函数给出：yt3t236t.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时解析 yt2t36(t12)(t8)，令y0得t12(舍去)或t8，当6t0；当8t9时，y0.当t8时，y有最大值答案 86设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是_解析 f(x)0，ex(2x1)axa，记g(x)ex(2x1)，则题意说明存在唯一的整数x0，使g(x)的图象在直线yaxa下方，g(x)ex(2x1)，当x时，g(x)时，g(x)0，因此当x时，g(x)取得极小值也是最小值g2e，又g(0)1，g(1)e0，直线yaxa过点(1，
5、0)且斜率为a，故解得a1.答案 7已知函数f(x)xln xmx2x(mR)(1)若函数f(x)在(0，)上是减函数，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)在(0，)上存在两个极值点x1，x2，且x12.解析 (1)f(x)xln xmx2x(mR)在(0，)上是减函数，f(x)ln xmx0在定义域(0，)上恒成立，m，设h(x)，则h(x)，由h(x)0，得x(0，e)，由h(x)e，函数h(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，h(x)maxh(e)，m.故实数m的取值范围是.(2)由(1)知f(x)ln xmx，函数f(x)在(0，)上存在两个极值点x1，x2，且x12，只需证
6、2，只需证ln t，只需证ln t0，g(t)ln t在t(0，1)上递增，g(t)g(1)0，即g(t)ln t2.8已知函数f(x)axln x1.(1)若a1，求函数f(x)的最大值；(2)对任意的x0，不等式f(x)xex恒成立，求实数a的取值范围解析 (1)f(x)xln x1，f(x)，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)的最大值为f(1)0. (2)不等式axln x1xex恒成立，等价于a在(0，)上恒成立令g(x)，x0，g(x).令h(x)x2exln x，x0，h(x)(x22x)ex0，所以h(x)在(0，)上单调递增，又h2ln 20，所以h
7、(x)存在唯一零点x0，且x0，xex0ln x00，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增g(x)ming(x0).xex0ln x00，即x0ex0lneln，构造函数(x)xex，易证(x)在(0，)上单调递增，所以x0ln，则ex0，将这两个式子代入g(x0)1，所以a1. B组题1已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析 a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意则a0知，此时必有f
8、0，即a310，化简得a24.又a0，所以a2.答案 C2已知函数f(x)(a，bR)，若对x(0，)，都有f(x)1恒成立，记ab的最小值为g(a，b)，则g(a，b)的最大值为_解析 由题意可得x(0，)，f(x)1恒成立，1，解得eaxbx，即axbln x，为满足题意，当直线与曲线相切时成立，不妨设切点(x0，ln x0)，由(ln x)，切线方程为yln x0(xx0)，即yx1ln x0，a，bln x01，ab.令g(x)，g(x)0，xe2，当0x0，g(x)是增函数，当xe2时，g(x)0，g(x)是减函数，则g(a，b)max.答案 3已知函数fx，函数gfsin x是区间
9、上的减函数(1)求的最大值；(2)若gsin 1在上恒成立，即t2sin 110，令ht2sin 110，则需又t2tsin 10恒成立，t1.(3)由于x22exm，令f1，f2x22exm，f1，当x时， f10，即f1单调递增；当x时， f10，即f1单调递减，f1，又f2me2，当me2，即me2时，方程无解；当me2，即me2时，方程有一个解；当me2，即me2时，方程有两个解4已知函数fln xx2x.(1)讨论函数f的单调性；(2)若对任意的实数a，函数fx2x有两个不同的零点，求实数b的取值范围解析 (1)由fln xxa1.令f0，得x或xea. 当aln时， f0，此时f在
10、上单调递增； 当a0，得x；令f0，得eaxln时，令f0，得xea；令f0，得xea. 综上所述，当aln时， f0，此时f在上单调递增；当aln时，f在和上单调递增，在上单调递减. (2)由题意， ln xx2xx2x，即ln xaxab有两个不同的零点. 法一：令Fln x，Fln x1，F在递增，F0，当x时，F0，F在递减，在递增，所以F在x1处取得极小值F0. 令Gaxab，则 G恒过点.因为函数fx2x有两个不同的零点，所以F与G的图象有两个不同的交点，所以bF0，解得实数b的取值范围为.综上所述，实数b的取值范围为. 法二：令Hln xaxa, 则Hln x1a，H在递增，H(1)a, 当a0，H(ea)10, 所以x00，使得H0.即aln x01，当x(0，x0)时，H0，所以HHln x0ax0a2. 若对任意的实数a，函数fx2x有两个不同的零点，则等价于b2对任意x0(0，)恒成立， 解得实数b的取值范围为. 综上所述，实数b的取值范围为.
