1、2021年北京一模几何综合1在正方形中，点在射线上（不与点、重合），连接，将绕点逆时针旋转90得到，连接（1）如图1，点在边上依题意补全图1；若，求的长；（2）如图2，点在边的延长线上，用等式表示线段，之间的数量关系【答案】（1）作图见解析；（2）【分析】（1）根据已知条件旋转作图即可；作交CB延长线于点G，证明，利用勾股定理计算即可；（2）作，证明，设，则，在根据勾股定理计算即可；【详解】（1）作图如图所示：作交CB延长线于点G，在DEC和EFG中，；（2）作，又，,，在DCE和EHF中，设，则，即【点睛】本题主要考查了旋转综合，结合全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质求解是解题的
2、关键2如图，在中，D是内一点，过点B作交的延长线于点E （1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到1=ADC=BAC，再根据三角形外角定理得到，从而；（3）通过在上截取，构造，再结合平行进一步得到，从而证明，【详解】解：补全图形如图6所示（2）证明：如图7，延长至点F，点F在的延长线上，是的外角，又，（3） 证明：如图8，延长至点F，在上截取，连接由（2）得，又，【点睛】本题主要考查了构造三角形全等
3、，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键3在中，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）（1）依题意补全图1；（2）探究与的数量关系为_；（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）图见解析；（2）=；（3），证明见解析【分析】（1）依据题中语句根据旋转的性质作出图形即可；（2）根据旋转前后对应角相等，再利用邻补角和等角的补角相等即可得出结论；（3）根据角平分线和旋转的性质可证AE/BM，再利用（2）中的结论和平行线的性质进一步证明MEA=DAE，DME=MDA，根据等角对等边可得AN=N
4、E,MN=DN，利用线段的和差可得结论【详解】解：（1）补全图如下：（2）绕点A顺时针旋转a，使边与重合，AEC=ADB，AEC+AEM=180，ADB+ADM=180，ADM=AEM，故答案为：=；（3），证明如下：绕点A顺时针旋转a，使边与重合，EC=BD,AE=AD，ADE=AED，又DE平分ADB,ADE=BDE，AED=BDE，AE/BD，MDA=DAE，DME=MEA，由（2）得MEA=MDA，MEA=DAE，DME=MDA，AN=NE，MN=DN，ME=AD，【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质和判定，等角对等边等（1）中能结合语句作出图形是解题关键；（2）中理解旋转前后对应
5、角相等是解题关键；（3）中能根据旋转和平行线证明角相等从而得出线段相等是解题关键4如图，在等腰三角形中，为边的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）60；（3），证明见解析【分析】（1）根据画旋转图形的步骤，找旋转中心，确定旋转方向、旋转角画图即可（2）现根据旋转得出AB=AE，再得出BAC+ABC+E=120，根据ABC是等腰三角形利用角一半的关系得出BAF+ABF=60，利用三角形外角得出AFE的度数（3）先证明，在利用旋转得出AFM是等边三角形，得出结论【详解】（1）解
6、：依题意补全图形，如图（2）解：，D为边的中点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，在中，即（3）证明：如图，在上取点M，使，连接AB=AC又AC=AEAB=AEABE是等腰三角形ABE=AEB又BF=EM又AFE=60是等边三角形【点睛】本题考查旋转的知识、等腰三角形、全等三角形的知识灵活利用角的和差倍分关系是本题的难点5如图，等腰三角形中，于点D，（1）求出的大小（用含的式子表示）；（2）延长至点E，使，连接并延长交的延长线于点F依题意补全图形；用等式表示线段与之间的数量关系，并证明【答案】（1），（2）画图见解析，BC=，证明见解析；【分析】(1)根据等边对等角，求出B，再根据三角形内角和求出
7、DCB即可；(2) 依题意画图即可；作ANBC于N，EMFB于M，证ANCCME，再求出F=45即可【详解】解：(1) ，B=ACB，（2）画图如图所示：BC=；作ANBC于N，EMFB于M， CN=BC，CNA=EMC=90，ANCCME，CN=EM，ACE=90-，F=45，,BC=2EM= 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形，利用45角解决问题6如图，等边中，点P是边上一点，作点C关于直线的对称点D，连接，作于点E（1）若，依题意补全图1，并直接写出的度数；（2）如图2，若，求证：；用等式表示线段之间的数量关系
8、并加以证明【答案】（1）补图见解析，20， （2）证明见解析，证明见解析，【分析】(1)根据题意画图，根据轴对称得出AGC=90，再结合等边三角形的性质可求；(2) 类似（1）表示出即可；作BHCD，交CD延长线于点H，证 ，得到之间的数量关系,再利用解直角三角形得出之间的数量关系即可【详解】(1)如图所示，即是所补全图；CD与直线的交点为G，由对称可知，AGC=90，是等边三角形，；（2）证明：由（1）得，BAC=60，AGC=90，,；由对称可知，,，；作BHCD，交CD延长线于点H，由（2）得，,由(2)可知，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、解直
9、角三角形，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，关键轴对称得出角之间的关系和发现特殊角7已知点P为线段上一点将线段绕点A逆时针旋转，得到线段；再将线段绕点B逆时针旋转，得到线段；连接，取中点M，连接（1）如图1，当点P在线段上时，求证：；（2）如图2，当点P不在线段上，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）通过证明为等边三角形，即可证得；（2）关系为：；延长至点F，使得，连接AF，BC，FC，PC，通过证明，可得到是等边三角形，即可得证【详解】（1）证明：点P在线段上，为等边三角形，又，；（2）；证明如下：延长至点F，使得，连接AF，BC，F
10、C，PC，四边形为平行四边形，是等边三角形，是等边三角形，又，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是综合运用相关知识解题8在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作交CF于点G，连接BE（1）如图1，求证：；（2）当（）时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）证明见解析，（2）补图见解析，FE= DG+AH；证明见解析【分析】(1)证四边形FABG是平行四边形，根据平行四边形性质和等腰三角形性质可证；(2)按题意画图，作AMBE于M，交BG、CD于点L、K，证四边
11、形ABLE是菱形，得出四边形FELG是平行四边形，证ADKBAH，再证GL=GK即可【详解】（1）证明：，四边形FABG是平行四边形，FAB=FGB，FAB+AEB+ABE=180，CGB+FGB=180，CGB=AEB+ABE，AB= AE，AEB=ABE，；（2）补图如图3，线段之间的数量关系为：FE= DG+AH；作AMBE于M，交BG、CD于点L、K，连接EL，AE=AB，EM=MB，AEB=EBL，AME=LMB，AMELMB，AE=LB，四边形ABLE是平行四边形，AE=AB，四边形ABLE是菱形，ELAB，AB=BL，ABFG，ELFG，四边形FGLE是平行四边形，FE=GL，A
12、B=BL，LAB=BLA，ABFG，GKL=LAB，GKL=BLA，ALB=GLK，GKL=GLK，GL=GK，FE= GK，DAK+BAK=90，ABH+BAK=90，DAK=ABH，ADK=BAH，AD=AB，ADKBAH，DK=AH，FE= GK=DG+DK=DG+AH；【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形和平行四边形9如图，在中，作射线，D在射线上，连接，E是的中点，C关于点E的对称点为F，连接（1）依题意补全图形；（2）判断与的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得，求的值【答案】（
13、1）作图见解析 ；（2）；证明见解析 ；（3） 或【分析】（1）连接CE，并延长CE到点F，使得CE=EF即可；（2）证明，后利用AB=AC代换传递即可得证；（3）分点G，C位于直线DF的同侧和异侧两种情形求解【详解】（1）下图即为所求（2）与的数量关系是证明：点F与点C关于点E对称，E是的中点，（3）如图所示，点G的位置有两种情况点G与点C在直线同侧时，记为，连接，四边形是平行四边形，中，点G与点C在直线异侧时，记为，中，由，综上，的度数为或【点睛】本题考查了对称点作法，三角形的全等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键10如图，在中，点P在
14、线段，作射线，将射线绕点C逆时针旋转，得到射线，过点A作于点D，交于点E，连接（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）补全图形见详解；（2）线段，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（DE-AD）2，【分析】（1）根据作图语句，即可补全图形：（2）线段，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，将ACE顺时针旋转90得到BCG，连结GE，证得点D在EG上，再得到AEC=BGC=CEG =45，可求EGB=90，在RtEGB中，由勾股定理，BG=AE=AD-DE，GE=ED+DG=2DE，可证【详解】解：（1）根据作图语句，补全图形如下
15、：（2）线段，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，证明如下，将ACE顺时针旋转90得到BCG，连结GE，则ACEBCG，AE=BG，CE=CG，AEC=BGC，ADCP，ECD=45，CED=90-45=45，CD=ED， CE=CG，ECG=90，CEG=CGE=45，点D在EG上，AEC=BGC=CEG =45，EGB=CGB+CGE=45+45=90，在RtEGB中，由勾股定理，CE=CG，ED=DG,BG=AE= DE-AD，GE=ED+DG=2DE，【点睛】本题考查作图，等腰直角三角形旋转，三角形全等变换，直角三角形的判定，勾股定理，等腰三角形性质，掌握尺规作图
16、方法，等腰直角三角形性质，三角形全等变换，直角三角形的判定方法，勾股定理应用，等腰三角形性质是解题关键11已知：在中，以为斜边作等腰，使得A，D两点在直线的同侧，过点D作于点E（1）如图1，当时，求的度数；判断线段与的数量关系；（2）若，线段与的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明【答案】（1）；，理由见详解；（2）图见详解，线段与的数量关系保持不变，理由见详解【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，然后问题可求解；由可得：CDE=EBD=25，过点C作CHAB，并延长，然后过点D作DFCH的延长线于点F，则，然后可得四边形是矩形，进而可得CFDBED，则四边形是正方形，由此可得，最
17、后问题可求解；（2）过点D作DEAB于点E，过点C作CGED，交ED延长线于点G，EG交AC于点F，由题意易证，进而可得，然后问题可求解【详解】解：（1）BDC是等腰直角三角形，；，理由如下：由可得：CDE=EBD=25，过点C作CHAB，并延长，然后过点D作DFCH的延长线于点F，如图所示：，四边形是矩形，CHDE，FCD=CDE=EBD=25，BDC是等腰直角三角形，CFDBED（AAS），DE=DF，CF=BE，四边形是正方形，HF=HE，A=45，AHC是等腰直角三角形，AH=CH，；（2）线段与的数量关系保持不变，理由如下：由题可得如图所示：过点D作DEAB于点E，过点C作CGED，
18、交ED延长线于点G，EG交AC于点F，如图，A=45，AEF是等腰直角三角形，AE=EF，AFE=45，GFC=AFE=45，GFC是等腰直角三角形，GF=GC，BDC是等腰直角三角形，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定及矩形的判定是解题的关键12在中，是直线上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE=CD，过点E作，交直线于点（1）如图1，当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段
19、EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；【答案】（1）结论：AC=EF+FC，证明见解析；（2）EF=FC+AC，证明见解析【分析】（1）过D作DHCB于H，可得FECHDC，故CH=FC，DH=EF，再由DHB=90，B=45，可得DH=HB=EF，从而可得AC=BC=CH+BH=FC+EF；（2）依题意补全图形，过D作DHCB交CB的延长线于H，可得FECHDC，故CH=FC，DH=EF；又DHB=90，B=45，故DH=HB=EF，从而可得EF=CH+BC=FC+AC【详解】(1)结论：AC=EF+FC证明：过D作DHCB于H，EFCF于F，EFC=DHC=90，FCE=DCH，
20、EC=DC，FECHDC（AAS），CH=FC，DH=EFDHB=90，B=45， DH=HB=EF， AC=BC=CH+BH， =FC+EF(2)依题意补全图形结论：EF=FC+AC证明：过D作DHCB交CB的延长线于H，EFCF于F，EFC=DHC=90，FCE=DCH，EC=DC，FECHDC（AAS），CH=FC，DH=EF，DHB=90，B=45，DH=HB=EF，EF=CH+BC，=FC+AC【点睛】本题主要考查三角全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线并证明三角形全等13已知，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点
21、Q，连接点A关于直线BQ的对称点为点C，连接（1）如下图，若P为线段AB的中点直接写出的度数；依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D设，求的大小（用含a的式子表示）；用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】(1)，补图见解析，(2) ,CD =PD+DQ；【分析】(1)根据对称可求APQ为等边三角形，根据中点可得BP=PQ，可求的度数；依题意补全图形即可，利用解直角三角形可判断出线段CP与AP的数量关系；(2)连接CQ，根据对称得到CQ= PQ，求出顶角CQP=即可；在DC上截取DE=DQ，证QCEQPD，可得线段之间的数量关系【详解】解
22、：(1)，点P关于直线AN的对称点为点Q，PAQ=2MAN=60，AP=AQ，APQ是等边三角形，PQ=AP=BP，QPA=AQP =60，；补图如图所示：连接BC，由对称得，BC=BA，CBP=2ABQ=60，CBP=PAQ，BP=AQ，CBPBAQ，CP=BQ，AP=AQ，；(2) 连接CQ，由对称可知，CQB=AQB=60+，CQ=AQ=PQ，CQP=，CPQ=；在DC上截取DE=DQ，由得，CPQ60，CDQ=CPQ60，DEQ是等边三角形，QE=QD，EQD=60，CQB=60+，CQE=PQD=，QC=QP，QE=QD，QCEQPD，CE=PD，CD=CE+ED=PD+DQ；【点睛
23、】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线，关键全等三角形进行推理证明14如图，在正方形中， ，是边上一动点（不与点重合），连接，点与点关于所在的直线对称，连接， ，延长到点，使得，连接，（1）依题意补全图1；（2）若，求线段的长；（3）当点在边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时的面积 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4.5或【分析】（1）根据题意作出图形便可；（2）连接BP ，先证明 ，再证明 ，求得 BP，便可得EF ；（3）设 ，则 ，求出 AE、AF 、EF ；当AEF 为等腰三角形时，分两种情况列出方程求出 的值，进而求得最后结果【详解】解：（1）根据题意，作图如下：（2）连接，如图2点与点关于所在的直线对称，四边形是正方形，四边形是正方形，；（3）设，则，当为等腰三角形时，只能有两种情况：或，当时，有，解得，面积为；当时，解得，的面积为，综上的面积为4.5或【点睛】本题属于几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，要求学生能理解相关概念与性能，能应用它们得到线段或角之间的关系，本题综合性较强，蕴含了分类讨论等思想方法
