1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十八抛物线方程及性质的应用(15分钟30分)1过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条 C2条 D1条【解析】选B.当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有1条;当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有2条2与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10【解析】选D.设切线方程为2xym0,与yx2联立得x22xm0,44m0,m1,即切线方程为2xy10.3等腰直角三角形AOB内接于抛物
2、线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积是()A8p2 B4p2 C2p2 Dp2【解析】选B.因为抛物线的对称轴为x轴,内接AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性,知直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,2p).所以|AB|4p,所以SAOB4p2p4p2.4(2020全国卷)设O为坐标原点,直线x2与抛物线C:y22px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A BC(1,0) D(2,0)【解析】选B.将x2代入y22px(p0)得y2,由ODOE得kO
3、DkOE1,即1,得p1,所以抛物线C:y22x的焦点坐标为.5若直线l:y(a1)x1与曲线C:y2ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合【解析】因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程组有唯一一组实数解,消去y,得(a1)x12ax,整理得(a1)2x2(3a2)x10(1)当a10,即a1时,方程是关于x的一元一次方程,解得x1,这时,原方程组有唯一解(2)当a10,即a1时,方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0,解得a0或a.当a0时,原方程组有唯一解当a时,原方程组有唯一解.综上实数a的取值集合是.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20
4、分)1若抛物线y2x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线yxb对称,且y1y21,则实数b的值为()A3 B3 C2 D2【解析】选D.因为抛物线y2x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线yxb对称,所以1,所以1,所以y1y21.因为y1y21,所以x1x2yy(y1y2)22y1y23,所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.代入yxb,可得b2.2已知P为抛物线y24x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x2)2(y4)21上一个动点,d|PQ|的最小值是()A5 B4C21 D1【解析】选B.点P是抛物线y24x上的点,又点P到抛物线准线
5、的距离为d,点P到圆C:(x2)2(y4)21上的动点Q的距离为|PQ|,由抛物线定义知:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,如图所示,连接圆心C与F,交圆于Q.FC交抛物线的点即为使d|PQ|最小时P的位置,所以d|PQ|的最小值为:|FC|1,因为C(2,4),F(1,0),所以|FC|5,|CQ|1,所以d|PQ|的最小值为514.3(2020哈尔滨高二检测)已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4,则|QF|等于()A B3 C D2【解析】选B.设点Q到l的距离为d,则|QF|d.因为4,所以|PQ|3d.所以直线PF的斜率为2.
6、因为F(2,0),所以直线PF的方程为y2(x2),与y28x联立,得x1,x4(舍),所以Q点横坐标为1,所以|QF|d123.4(2020合肥高二检测)已知直线l与抛物线x24y交于A,B两点,0(其中O为坐标原点).若,则直线OP的斜率的取值范围是()ABCD【解析】选D.如图,设A,B,因为,则P,又0,即x1x2y1y20,即x1x20,即x1x216,设直线OP的斜率为k,则k,22,当且仅当,即4时等号成立,故k.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5(2020济南高二检测)已知抛物线C:y22px过点P(1,1),则下列结论正确
7、的是()A点P到抛物线焦点的距离为B过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则OPQ的面积为C过点P与抛物线相切的直线方程为x2y10D过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N点,则直线MN的斜率为定值【解析】选BCD.因为抛物线C:y22px过点P(1,1),所以p,所以抛物线方程为y2x,焦点坐标为F,对于A,1,故A错误对于B,kPF,所以lPF:y,与y2x联立得4y23y10,所以y1y2,y1y2,所以SOPQ,故B正确对于C,依题意知斜率存在,设直线方程为y1k(x1),与y2x联立得ky2y1k0,14k0,4k24k10,解得k,所以切线方程为x2y10,故C正确对
8、于D,依题意知斜率存在,设lPM:y1k(x1),与y2x联立得:ky2y1k0,所以yM1,即yM1,则xM2,所以点M,同理点N,所以kMN,故D正确6已知抛物线C:y22px的准线经过点M,过C的焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则下列结论正确的是()Ap2B的最小值为16C四边形ADBE的面积的最小值为64D若直线l1的斜率为2,则AMB90【解析】选ABD.由题可知1,所以p2,故A正确设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为.设A,B,D,E,直线l1:yk,直线l2:y.联立,消去y整理得k2x2xk20,所以x1x2,
9、x1x21.所以x1x2p24.同理x3x4p244k2,从而8416,当且仅当k1时等号成立,故B正确因为S四边形ADBE83232,当且仅当k1时等号成立,故C错误x1x2x1x21y1y21,将x1x23,x1x21与y1y22,y1y24代入上式,得0,所以AMB90,故D正确三、填空题(每小题5分,共10分)7已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_【解析】由抛物线定义知P到准线l2:x1的距离等于它到焦点(1,0)的距离,所以P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于焦点到l1的距离d2.答案:28(2018全国卷
10、)已知点M和抛物线C:y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点若AMB90,则k_【解析】由抛物线的方程y24x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为yk(x1),由得k2x22(k22)xk20,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1x2,x1x21,因为AMB90,所以(x11,y11)(x21,y21)(x11)(x21)(y11)(y21)(x11)(x21)k(x11)1k(x21)1(1kk2)(x1x2)(1k2)x1x2k22k2(1kk2)(1k2)k22k20,整理可解得k2.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9(2020全国卷
11、)已知椭圆C1:1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|5,求C1与C2的标准方程【解析】(1)因为F是椭圆C1的右焦点,且ABx轴,所以F(c,0),直线AB的方程为xc,联立,得1,又因为a2b2c2,所以y22,解得y,则|AB|,因为点F(c,0)是抛物线C2的焦点,所以抛物线C2的方程为y24cx,联立,解得,所以|CD|4c,因为|CD|AB|,即4c,2b23ac,即2c23ac2a20,即2e23e20,
12、因为0e1,解得e,因此,椭圆C1的离心率为.(2)由(1)知a2c,bc,椭圆C1的方程为1,联立,消去y并整理得3x216cx12c20,解得xc或x6c(舍去),由抛物线的定义可得|MF|cc5,解得c3.因此,曲线C1的标准方程为1,曲线C2的标准方程为y212x.10已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,P(5,a)为抛物线C上一点,且|PF|8.(1)求抛物线C的方程(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过Q(0,3),求直线l的方程【解析】(1)由抛物线定义,可得58,解得p6,所以抛物线C的方程为:y212x.(2)由(1)知,F(3,0),设
13、A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为xmy3,联立方程消去x,整理得y212my360,则144m21440,且y1y212m,y1y236.因为以线段AB为直径的圆过点Q(0,3),所以0,即x1x2(y13)(y23)0,所以x1x23(y1y2)y1y290,所以(my13)(my23)3(y1y2)y1y290,所以(m21)y1y2(3m3)(y1y2)180,36m23636m236m180,所以m.所以直线l的方程为:xy3,即2xy60.【创新迁移】1已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A,B满足3,则弦AB的中点到准线的距离为_【解析】如图,分别过点A,B作准
14、线x1的垂线,垂足分别为点E,G,又过点B作BKAE于点K交x轴于点H,由3,可设|m,|3m,由抛物线的性质得,|AE|3m,|BG|m,|HF|2m;又由HFAE得,即,m,所以弦AB的中点到准线的距离为(|BG|AE|)|AB|4m2.答案:2设抛物线C:y24x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点(1)设l的斜率为2,求|AB|的值;(2)求证:是一个定值【解析】(1)依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y2(x1).设直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得x23x10,所以x1x23,x1x21.方法一:|AB|5.方法二:|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)由题意知l的斜率存在,故设直线l的方程为xky1,直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x,整理得y24ky40,所以y1y24k,y1y24.因为(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143,所以是一个定值关闭Word文档返回原板块