1、本章回顾一知识结构二方法总结1.求圆的方程应注意根据所给条件,恰当选择方程的形式,用待定系数法求解.2.讨论点与圆直线与圆圆与圆的位置关系时,一般从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径关系)去考虑,其中用几何法较为简捷实用.3.解决空间问题注意利用类比的思想.三数学思想1.数形结合思想例1:圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有几个?分析:探讨圆半径,圆心到直线的距离以及二者之间的大小关系.解:解法1:圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心O1(3,3),半径r=3.设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d,
2、则如图,在圆心O1同侧与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,则这两个交点符合题意.又r-d=3-2=1.与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.解法2:符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为3x+4y+m=0,则m+11=5,即m=-6,或m=-16.即l1:3x+4y-6=0,或l2:3x+4y-16=0.设圆O1:(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2.则l1与O1相切,与圆O1有一个公共点;l2与圆O1相交,与圆O1有两个
3、公共点.即符合题意的点共有3个.规律技巧:到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为该定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.2.转化与化归思想例2:若实数xy满足x2+y2+8x-6y+16=0,求x+y的最小值.解:将方程化为(x+4)2+(y-3)2=9设x+y=b,则y=-x+b可见求x+y的最小值转化为求直线y=-x+b在y轴上的截距最小,因为(x,y)在圆上,这时只要直线与圆相切.如图由点到直线的距离公式可得规律技巧:把求x+y的最值问题转化为几
4、何问题,利用点到直线的距离得以解决.3.函数与方程思想例3:已知C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0)B(1,0),点P是圆上动点,求d=|PA|2+|PB|2的最大最小值及对应的P点坐标.解:设点P为(x0,y0),则d=(x0+1)2+y +(x0-1)2+y =2(x +y )+2.欲求d的最大最小值,只需求u=x +y 的最大最小值,此即求C上点到原点距离之平方的最大最小值.作直线OC,设其交C于P1(x1,y1)P2(x2,y2),则u最小值=(|OC|-1)2=16=|OP1|2,此时OP1:P1C=4,d最小值=34,对应点P1的坐标为同理可得d最大值=74,对应点
5、P2的坐标为规律技巧:圆上点到定点或定直线的距离的最值,都在点与定点的连线点与直线的垂线过圆心时取得.本题解法充分反映了解析几何的解题思路:一方面,将几何问题代数化;另一方面,将代数问题几何化.四专题:(一)巧用直线与圆的位置关系设圆C的半径为r,圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系为:(1)l与圆相交dr.恰当地运用这一结论解题,往往给人以推陈出新之感,请看下面的例子.1.应用于求斜率例4:已知直线l经过点(3,2)且与圆心在原点的单位圆相切,求直线l的斜率.解:设l的斜率为k,则直线l的方程为:y=k(x-3)+2.圆心到直线的距离为由于直线与圆相切,因而解得2.应用于证明不等式例
6、5:设c是直角三角形的斜边长,a,b是两条直角边边长,求证证明:由直角三角形,知a2+b2=c2.取圆C:x2+y2=c2,直线x+y=a+b,则点(a,b)必为圆C与直线的公共点,由点到直线的距离公式,得c,整理即得到3.应用于求最值例6:已知a2+9b2-4a-12b+3=0,a,bR,求k=a+6b的最值.解:由已知整理得(a-2)2+(3b-2)2=5,显然,点(a,3b)是圆(x-2)2+(y-2)2=5与直线x+2y=k的公共点,由直线与圆的位置关系,有:解之得1k11.因此,k=a+6b的最大值为11,最小值为1.(二)圆的几何性质的应用在解析几何中,若能抓住图形的特征,充分利用
7、平面几何知识.常会得到事半功倍的效果.例7:以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程.分析:充分利用圆的几何性质,半径半弦长及弦心距构成直角三角形,由勾股定理求解.解:设圆的方程为x2+y2=r2,圆心O到直线3x+4y+15=0的距离由题意得d2+42=r2,r2=16+9=25.故所求圆的方程为x2+y2=25.例8:已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于AB两点,且求直线l的方程.分析:画出示意图,注意直线l的斜率存在与不存在的情形.解:(1)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0.作出示意图,如图,作MCAB于C,在RtMAC中|MA|=2,由点到直线的距离公式得解得直线l的方程为3x-4y+6=0.(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,此时也适合题意.综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y+6=0.
