1、第4讲 二次函数与幂函数 第二章 函数、导数及其应用考纲解读 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题(重点、难点)2掌握幂函数的图象和性质，结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测 2021 年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等在解答题中也可能会涉及二次函数幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向1 基础知识过关 PAR
2、T ONE 1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)01 _顶点式：f(x)02 _两根式：f(x)03 _ax2bxc(a0)a(xm)2n(a0)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)单调性在 x，b2a 上单调递减；在 x 04 _上单调递增在 x 05 _上单调递增；在 x b2a，上单调递减对称性函数的图象关于直线 06 _对称 b2a，b2ax b2a2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 01 _的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数(2)常见的五
3、种幂函数的图象yx0，)(3)常见的五种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR02_x|xR，且 x0值域R0，)R0，)y|yR，且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇函数特征性质yxyx2yx3yx12yx1单调性增在(，0上减，在0，)上增增增在(，0)上 减，在(0，)上减定点(0,0)，(1,1)(1,1)1.概念辨析(1)函数 y2x13是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案(1)
4、(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)若 a0，则 0.5a,5a,0.2a 的大小关系是()A.0.2a5a0.5aB5a0.5a0.2aC.0.5a0.2a5aD5a0.2a0.5a解析 因为 a0，所以函数 yxa 在(0，)上是减函数，又 0.20.50.5a5a，即 5a0.5a0.2a.答案解析(2)已知幂函数 yf(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为_解析 设 f(x)x，因为函数 f(x)的图象过点(2，2)，所以 22，即2122，所以 12，所以 f(x)x12.解析f(x)x12(3)若二次函数 y2x24xt 的图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是_解析 y
5、2x24xt2(x22x)t2(x1)21t2(x1)22t.因为此函数的图象的顶点(1,2t)在 x 轴上，所以 2t0，所以 t2.2解析(4)函数 f(x)x22x(0 x3)的值域是_解析 因为 f(x)x22x(x1)21，所以 f(x)在0,1上单调递增，在1,3上单调递减，又 f(0)0，f(1)1，f(3)3，所以函数 f(x)的值域为3，1.3,1解析2 经典题型冲关 PART TWO 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解 解法一：(利用二次函数的一般式)设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1
6、，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.故所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7.解题型 一 求二次函数的解析式 解法二：(利用二次函数的顶点式)设 f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为 x21212.m12，又根据题意函数 f(x)有最大值 8，n8，yf(x)ax1228.解f(2)1，a212281，解得 a4，f(x)4x12284x24x7.解法三：(利用两根式)由已知 f(x)10 的两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即 f(x)ax2ax2a1.又函数 f(x)有最大值 8，即4a2a1a24a8.
7、解得 a4 或 a0(舍去)，解条件探究 1 将本例中的“f(2)1，f(1)1”改为“与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)”，其他条件不变，试确定 f(x)的解析式解 设 f(x)ax(x2)因为函数 f(x)的最大值为 8，所以 a0.解得 a1，b3，c2.所以 f(x)x23x2.x23x2解析2如图是二次函数 yf(x)的图象，若|OC|OB|3|OA|，且ABC 的面积 S6，求这个二次函数的解析式解 设二次函数解析式为 yax2bxc(a0)，因为|OB|OC|3|OA|，所以|AB|OA|OB|4|OA|，且 4|OA|3|OA|126，得|OA|1，解所以 A(1
8、,0)，B(3,0)，C(0,3)将三点坐标代入方程，得300c，09a3bc，0abc，解得 a1，b2，c3.所以二次函数解析式为 yx22x3.解角度 1 二次函数的图象1如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3,0)，对称轴为直线 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确；二次函数的图象的对称轴为直线 x1，即 b2a1,2ab0，错误；结合图象知，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为直线 x1 知，b2a，又函数的图象开口向下，a0，5a2a，即 5a0，4a322a 3，答案解析解得 0a34；当 a0
9、 时，f(x)12x5 在(，3)上是减函数综上可知，a 的取值范围是0，34.解析角度 3 二次函数的最值3.已知 f(x)4x24ax4aa2 在0,1内的最大值为5，则 a 的值为()A.54B1 或54C.1 或54D5 或54解析 f(x)4xa224a，对称轴为直线 xa2.当a21，即 a2 时，f(x)在0,1上递增，f(x)maxf(1)4a2.答案解析令4a25，得 a1(舍去)当 0a21，即 0af(2mmt2)对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.(，2)B.(2，0)C.(，0)(2，)D.(，2)(2，)答案解析 当 xf(2mmt2)对任意实数
10、 t 恒成立，知4t2mmt2对任意实数 t 恒成立，即 mt24t2m0 对任意实数 t 恒成立，故有m0，168m20，解得 m(，2).解析5.当 x(1,3)时，若不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_解析 设 f(x)x2mx4.因为 x(1,3)时，不等式 x2mx40)在区间 A 上单调递减(单调递增)，则 A，b2a A b2a，即区间 A 一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)如举例说明 2.3.二次函数最值问题的解法抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成如举例说明 3.4.与二次
11、函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0.如举例说明 4.(3)af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(4)f(x)ax2bxc0)在(m，n)上恒成立fm0，fn0.如举例说明5.(5)f(x)ax2bxc0(a0，fn0.1.(2019重庆五中模拟)一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是()解析 若 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的图象开口向上，故可排除 A；若 a0，b0，
12、从而 b2a0，而二次函数图象的对称轴在 y 轴的右侧，故排除 B，选C.答案解析2.二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为 f(1)，则f(2)，f32，f(3)的大小关系是()A.f(2)f32 f(3)B.f32 f(2)f(3)C.f(3)f(2)f32D.f(2)f(3)f32答案解析 因为二次函数 f(x)ax2bxc(xR)的最小值为 f(1)，所以函数的图象开口向上，对称轴为直线 x1，因为321|31|21|，所以 f(2)f(3)f32.解析3.(2019陕西西安模拟)已知函数 f(x)x24x，xm,5的值域是5,4，则实数 m 的取值范围是()A.(，1)B(1
13、,2C.1,2 D2,5解析 f(x)x24x(x2)24，当 x2 时，f(2)4，由 f(x)x24x5，解得 x5 或 x1，要使函数在m,5上的值域是5,4，则1m2.答案解析4.已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为_解析 2ax22x30 在1,1上恒成立当 x0 时，30，成立；当 x0 时，a321x13216，因为1x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值12，acbaBabcdC.dcabDabdc题型 三 幂函数的图象与性质答案解析 观察图象联想 yx2，yx12，yx1 在第一象限内的图象，可知c0，d0,0b
14、12d，所以 cd.综上知 abcd.解析2.若(2m1)12(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是()A.，512B.512，C.(1,2)D.512，2解析 因为函数 yx12在0，)上是增函数，且(2m1)12(m2m1)12，所以2m10，m2m10，2m1m2m1，解得 512m1010图象 特殊点过点(0,0)，(1,1)过点(0,0)，(1,1)过点(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例举例说明 1 中，yxa举例说明 1 中，yxb举例说明 1中，yxc，yxd3.幂函数单调性的应用(1)依据当 0 时，幂函数 f(x)x 在(0，)上单调递增；当 0 时，幂函
15、数 f(x)x 在(0，)上单调递减(2)两类应用比较大小；解不等式，如举例说明 2.1.已知幂函数 f(x)(n22n2)(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为()A.3 B1 C2 D1 或 2解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 符合题意，故选 B.答案解析2.若幂函数 f(x)xmn(m，nN*，m，n 互质)的图象如图，则()Am，n 是奇数，且mn1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn1D.m 是奇数，n 是偶数，且mn1解析 由图象可知，函数 f(x)为偶函数，所以 m 是偶数，n 是奇数函数图象在
16、第一象限部分上凸，所以mn1.答案解析3.已知 a243，b323，c2513，则()A.bacBabcC.bcaDcab解析 因为 a243423，c2513523，而函数 yx23在(0，)上单调递增，所以 323423523，即 ba0，14a5 120.答案解析2.幂函数(mZ)的图象如图所示，则 m 的值可以为()A.0 B1C.2 D3解析 由图象知，m24m0，则二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()解析 由 A 中图象知，a0，c0，b2a0，所以 b0 矛盾；由 B 中图象知，a0，b2a0，所以 b0，与 abc0 矛盾；由 C 中图象知，a0，c0，b2a0，与
17、 abc0 矛盾；由 D 中图象知，a0，c0，所以 b0 成立.答案解析5.(2019吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数 f(x)xn 的图象上，设 af33，bf(ln)，cf22，则 a，b，c 的大小关系为()A.acbBabcCbcaDbac解析 由点(2,8)在幂函数 f(x)xn 的图象上，可得 2n8，解得 n3，所以 f(x)x3.所以 f(x)在 R 上是增函数因为 0 33 22 1ln，所以 f33f22 f(ln)，即 acb.答案解析6.已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(1)f(3)f(4)，则()A.a0,4ab0 Ba0,4ab0
18、C.a0,2ab0 Da0,2ab0解析 因为 f(1)f(3)，则直线 x2 为对称轴，故 b2a2，则 4ab0，又 f(3)f(4)，所以 f(x)在(2，)上为减函数，所以函数 f(x)的图象开口向下，所以 a0.答案解析7.(2020百色市摸底)已知函数 f(x)x2xc，若 f(0)0，f(p)0 时，图象开口向上，所以当 x2 时取得最大值，即 f(2)4a4a14，解得 a38；当 a0，若 a，bR，且 ab0，则 f(a)f(b)的值()A.恒大于 0 B恒小于 0C.等于 0 D无法判断B组能力关答案解析 对任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，满足fx1fx2x1x
19、20，幂函数 f(x)在(0，)上是增函数，m2m11，4m9m510，解得 m2，则f(x)x2015.函数 f(x)x2015 在 R 上是奇函数，且为增函数，由 ab0，得 ab，f(a)f(b)f(b)，f(a)f(b)0.故选 A.解析2.已知二次函数 f(x)ax2bxc 是偶函数，若对任意实数 x1，x2 都有fx1x22fx1fx22，则 f(x)的图象可能是()解析 二次函数 f(x)ax2bxc 是偶函数，则 b0，图象关于 y 轴对称，所以排除 A，D；对任意实数 x1，x2 都有 fx1x22fx1fx22，所以函数 f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数 a0
20、，即排除 B.故选 C.答案解析3.已知函数 f(x)x22x1，如果使 f(x)kx 对任意实数 x(1，m都成立的 m 的最大值是 5，则实数 k_.解析 设 g(x)x2(2k)x1.设不等式 g(x)0 的解集为 axb.则(2k)240，解得 k4 或 k0，又因为函数 f(x)x22x1，且 f(x)kx 对任意实数 x(1，m恒成立；所以(1，ma，b，所以 a1，bm，所以 g(1)4k4，m 的最大值为 b，所以有 b5.即 x5 是方程 g(x)0 的一个根，代入 x5，解得 k365.365解析4.已知函数 f(x)ax22ax2b(a0)，若 f(x)在区间2,3上有最
21、大值5，最小值 2.(1)求 a，b 的值；(2)若 b0 时，f(x)在2,3上为增函数，故f35，f223a2b5，2b2a1，b0.解当 a0 时，a1，b0，当 a0 时，a1，b3.(2)b1，a1，b0，即 f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上单调，2m22 或2m24.m2 或 m6.故 m 的取值范围为(，26，).解析5.若二次函数 f(x)x2bxc 满足 f(2)f(2)，且方程 f(x)0 的一个根为 1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若对任意的 x12，4m2f(x)f(x1)44m2 恒成立，求实数m 的取值范围解(1)因为 f(2)f(2)且 f(1)0，所以42bc42bc，1bc0，所以 b0，c1，所以 f(x)x21.解(2)由题意知 4m2(x21)(x1)214m240 在 x12，上恒成立，整理得 m21x2 12x14在 x12，上恒成立，令 g(x)1x2 12x141x142 516，因为 x12，所以1x(0,2，当1x2 时，函数 g(x)取得最大值194，所以 m2194，解得 m 192 或 m 192.解本课结束
