1、数学答案（第1页共7页）E1EDBCD1B1A1C1FA2021 学年上学期高二年级期末考试试卷 数 学 参考答案 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号12345678答案CDBBBCCA二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.)题号9101112答案ACDBCBDBD第 12 题详解：由空间向量基本定理可知，点 P 在平面11BCC B 上.11APxABxAByACyABABx
2、BByBCAB=+=+，1BPxBByBC=+.对于 A，,xy=所以点 P 在1BC 上，而 DE/1BC，可以发现当 P 运动到1C 时，135DEP=.故 A 错.对于 B，如图，延长1BB 到 F 使12BFBB=，1/FCB D1BPxBByBC=+()111122y BByBCBByBByBC=+=+，1B PyFC=.所以点 P 在1B D 上.AD 平面11BCC B，BE 平面11BCC B，ADBE.11,BEB D ADB DD=，BE 平面1AB D.AP 平面1AB D，APBE.故 B 对.对于 C，1BPxBByBC=+，当1,2y=11,BPxBBBDDPxBB
3、=+=，取11B C 的中点1D，所以点 P 在1DD 上，当 P 在1D 和 D 时，易知1A PBP.故 C 错.对于 D，11111122BPxBByBCy BByBCBByBByBC=+=+=+，取1BB 的中点1E，故有()111E Py BBBCyBC=+=.所以 P 在11D E 上.11D E/DE,DE 平面 ADE，11D E 平面 ADE，11D E/平面 ADE同理可证11A D/平面 ADE.11111A DD ED=，所以平面111A D E/平面 ADE.1A P 平面111A D E，1A P/平面 ADE.故 D 对.正确答案：BD另法：设正棱柱各棱长为 2，
4、取11B C 中点 F，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz：则()()()()()13,0,0,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0,1,1ABCBE，()()()13,1,2,3,1,0,3,1,0ABACAB=，()11APxAByACxy AB=+()3,1 2,2APyx=，A.当 xy=时，()0,22,21EPAPAEyx=，()()0,1,1,32EDED EPxy=+，正负不定，故 A 错；B.当21xy+=时，()0,2,1BE=,4220AP BEyx=+=，APBE，故 B 正确；C.当12y=时，11(3,0,22)A PAPAAx=，(0,1,2)BPAPABx=
5、，12(22)0A P BPxx=有两解120,1xx=，有两个点 P，使得1A PBP，故 C 错误；F资料第一时间更新，认准公众号：一枚试卷君数学答案（第2页共7页）D.当12xy=时，()113,1 2,22A PAPAAyx=，设平面 ADE 的一个法向量为(),na b c=，则00DA nED n=，即300abc=，令1b=，则()0,1,1n=，所以()1210A P nxy=，又1A P 平面 ADE，所以1/A P平面 ADE，故 D 正确；故选：BD三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)题号13141516答案45610 xy+=3334a20220
6、,516.第一空 2 分，第二空 3 分详解：（1）由题意，得图 1 中的线段为 a，1ba=，图 2 中的正六边形边长为2a，2114232bbabaa=+=+=；图 3 中的最小正六边形的边长为4a，322444abbbaa=+=+=由此类推，13(2)2nnnbabn=，（2）因为()()(121321)nnnbbbbbbbb=+3222naaaaa=+11212112naa=+315(2)2nan=，当1n=时，1ba=上式也成立，()3*152nnanb=N31520222nnba=对*n N 恒成立，311552n，31520222na对*n N 恒成立 202205a四、解答题(
7、本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17（1）由频率分布直方图得周跑量为 1025 公里的频率为()0.020.0240.02450.34+=，周跑量为 1030 公里的频率为()0.020.0240.0240.03650.52+=，2 分设样本的中位数为 x，则 0.34(25)0.0360.5x+=，解得29.4x.样本的中位数约为 29.4.5 分（2）依题意知休闲跑者共有：()00.020.0245 200044+=人，核心跑者共有：(0.0240.0360.0440.032)5 20001360+=人，数学答案（第3页共7页）精英跑者共有：200
8、0440 1360200=人，8 分1(440 2500 1360 4000200 4500)37202000+=(元).估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费 3720 元.10 分18.（1）由123nnSa+=得 123(2)nnSa n+=，两式相减得112()nnnnSSaa+=，又1nnnSSa=，所以13(2)nnaa n+=，2 分当1n=时，21123239aSa=+=+=，满足213aa=3 分所以*13()nnaa n+=N，0na，13nnaa+=，即数列 na是首项为 3、公比为 3 的等比数列，5 分所以13 33nnna=.6 分（2）设数列 nb的公差为
9、d，则有117213,96bababd=+，1d=1(1)2nbbndn=+=+8分11nnncb b+=1112)(3)23nnnn=+（9分12311111111()()()()344556+2311.3339nnTccccnnnnn=+=+=+12 分19.（1）法一：ABD中，由正弦定理得 sinsinBDABBADADB=，即sinsinBDBADABADB=同理，在 ACD中，sinsinDCCADACADC=1 分 AD 平分BAC sinsinBADCAD=ADBADC+=sinsinADBADC=2 分 BDDCABAC=BDABDCAC=3 分法二：设 ABC边 BC 上的
10、高为 h 则11sin22ABDSBD hAB ADBAD=11sin22ACDSDC hAC ADCAD=1 分 sinsinABDACDSBDABBADDCSACCAD=AD 平分BAC sinsinBADCAD=2 分 BDABDCAC=3 分（2）在 ACD中，由余弦定理得数学答案（第4页共7页）22294 112cos22 2 18ACCDADCAC CD+=5 分 (0,)C 2213 7sin1 cos188CC=6 分 设(0)BDx x=，由（1）得 2ACABBDxDC=在 ABC中，由2222cosABACBCAC BCC=+得2230 xx=解得32x=（1x=舍去）5
11、2BCBDDC=+=8 分 设ABC的周长为l，内切圆半径为 r，则5153222lABBCCA=+=+=又11sin22ABCSAC BCClr=53 72sin7281542AC BCCrl=11 分所以ABC的内切圆面积为2716Sr=.12 分20.（1）()2(1)f xa xba=+(0a)，()f x 在()0,1 上为减函数，在()1,3 上为增函数，1 分()f x 在0,3 上有最大值 16，最小值 0(1)0fba=，(3)316fab=+=，2 分解得4ab=3 分()22484=41)f xxxx=+（，2(1)()221)xxh xx=（4 分设 2(2)xm m=
12、，则2224(2)4()1444mmmmh xm=，()h x 的值域为 1,)+6 分（2）()148g xxx=+(0)x 7 分()22loglog0gxkx22214 log8loglogxkxx+，8 分由4,16x，则2log2,4x，222221814()44(1)logloglogkxxx+=，设21logtx=，1 1,4 2t，10 分()24(1)h tt=在 1 1,4 2上为减函数，当14t=时，()h t 最大值为 94，94k，即实数 k 的取值范围为9,4.12 分数学答案（第5页共7页）21.（1）在等边三角形 SAD 中，P 为 AD 的中点，于是 SPAD
13、.又平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD=，SP 平面 SAD，所以 SP 平面 ABCD，所以 SP 是四棱锥 SABCD的高.1 分设 ADm=，则32SPm=，ABCDSm=矩形，所以1132 33323SABCDABCDVSSPmm=矩形，所以2m=.2 分法一：取 EP 中点G，连接 AG.EP、是等边三角形 SAD 的中位线，AGEP.平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD=，四边形 ABCD 是矩形，AB 平面 SAD.AG 平面 SAD，AB AG.EF/AB，EF AG.EFEPE=，AG 平面 PEF.4 分AD/BC，直线 B
14、C 与平面 PEF 所成角为APG.5 分又60APGAPEADS=.所以直线 BC 与平面 PEF 所成的角大小为 60.6 分法二：如图，以点 P 为坐标原点，PA 所在直线为 x 轴，过点 P 且与 AB 平行的直线为 y 轴，PS 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.则()131 13(0,0,0),(1,0,0),1,1,0,(0,0,3),(,0,),(,),(1,1,0)222 22PABSEFC.所以()131 13(,0,),(,),2,0,0222 22PEPFBC=.3 分设()1111,nx y z=是平面 PEF 的法向量，则110,0,nPEnPF=即11111
15、130,221130,222xzxyz+=+=可取()13,0,1n=.4 分因为1113cos,2nBCn BCBC n=，所以直线 BC 与平面 PEF 所成的角的正弦值为32.所以直线 BC 与平面 PEF 所成的角大小为 60.6 分（2）存在.理由如下：设()(1,0,3)(,0,3)01AEAS=，()1,0,0(,0,3)(1,0,3)PEPAAE=+=+=，()1,1,0PB=8 分设平面 PEB 的一个法向量为()1,mx y z=，则()11130,0,mPExzmPBxy=+=+=数学答案（第6页共7页）令3x=，则()13,3,1m=，9 分而平面 SAD 的一个法向量
16、()20,1,0mAB=，所以121221232 3cos,5721m mm mm m=+，10 分因为 01，所以()()23842320+=，所以23=.11 分所以存在点 E，位于 AS 上靠近 S 点的三等分点.12 分 22.（1）设动圆的半径为 r，依题意，圆1F 的圆心1(2,0)F，半径为 2，圆2F 的圆心2(2,0)F，半径为 4.1 分 当圆1F 和圆2F 同时内切于动圆时，有12122(4)2MFMFrrF F=故点 M 的轨迹是以1F、2F 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支，焦距 24c=，2c=，又 22a=，故1a=，23b=此时，点 M 的轨迹方程为221(
17、1)3yxx=3 分 当动圆同时内切于圆1F 和圆2F 时，有21124(2)2MFMFrrF F=故点 M 的轨迹是以1F、2F 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的左支的一部分，又圆1F 与圆2F 交点的横坐标为32，此时，点 M 的轨迹方程为2231(1)32yxx=综上所述，点 M 的轨迹方程为2231(11)32yxxx=或 5 分（2）依题意可设 1:2lxmy=+，1122(,),(,)M x yN xy，则 2:(2)lym x=联立直线 1l 与曲线C 的方程22132yxxmy=+整理得22(31)1290mymy+=则121222129,3131myyy ymm+=6 分圆心
18、1(2,0)F 到直线 2l 的距离22(22)411mmdmm=+，2123dm，此时直线 1l 与曲线C 在 y 轴右侧部分恒有两个交点 8 分 22224 1 32 21mPQdm=+()222121212114MNmyymyyy y=+=+数学答案（第7页共7页）22222212366(1)131311 3mmmmmm+=+=记 PQM与 PQN的面积分别为12,S S，则()22122222111 4 1 36(1)2221 31mmSSPQMFNFPQ MNmm+=+=+22212 111241 331mmm+=+11 分)2121012,3mSS+所以 PQM与 PQN的面积之和的取值范围是)12,+.12 分
