1、第三部分 讲重点解答题专练 高考数学，56 个解答题已形成固定模式，其重要性勿用赘述，高考的选拔功能最终将以此体现它也是高考数学试题的精华部分，知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，突出中学数学的主要思想方法，考查考生的创新意识和创新能力那么，怎样提高解答题的求解效率？一、认识解答题的特点，把握审题中的“三性”解答题从题设到结论，从题型到内容，条件丰富且变化多样，因此这就决定了审题思考的复杂性和解题思路的多样性 1目的性：明确解题的终极目标和每一个步骤的分项目标；2准确性：注意概念把握的准确性和运算的准确性；3隐含性：注意题设条件的隐含性审题不怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，
2、这是提高解题速度和准确性的保证 二、认识解答题的特点掌握解题思维中的“三化”1抽象问题具体化(包括对抽象函数可用与其具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)；2复杂问题简单化；3尽量使陌生问题熟悉化，即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系，变成熟悉的形式 三、认识解答题的特点，提高解题思维过程中的转化能力 1语言转换能力；2概念转换能力；3数形转换能力 四、做到解题过程中的“三思”1思路：由于解答题具有知识容量大，解题方法多的特点，因此，审题时应考虑应用多种解题思路；2思想：高考解答题的设置往往着重
3、考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的合理运用；3思辨：即在求解解答题时注意对思路和运算方法的选择和解题后的反思.第1讲 三 角 函 数 热 点 调 研 三角函数或三角函数与平面向量的综合题，往往处于解答题的第一题位置，一般题目难度不大，以考查基础知识为主，在战略上要藐视它，在战术上要重视它根据历年的阅卷情况，本题的得分率并不是太高，其原因主要是审题不严谨、答题不规范导致失分，希望引起同学们注意，争取来个开门红.调研一 三角恒等变换(2016武汉调研)(1)已知 02 ，且 cos(2)19，sin(2)23，求 cos()的值；(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，求
4、 2 的值【审题】从角之间的联系入手：(1)2(2)(2)注意 2和2 的范围(2)2()同样要注意 2 的范围【解析】(1)02，4 22，4 20，02，020，022.tan170，2，20)个单位长度，得到图像关于直线 x34 对称，求 的最小值【审题】先“化一”(即化成一个角的三角函数)，根据 f()2，求；根据图像变换规律进行变换；图像关于直线对称，即函数在该处取得最值【解析】(1)f(x)2sinx 6cosx2 2(12sinx 32 cosx)2 2sin(x3)(3 分)由 f()2，得 sin(3)22，即 3 2k4 或 3 2k34，kZ，解得 2k12或 2k512
5、，kZ.(4 分)由 0，得 512.(6 分)(2)若将 yf(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y2 2sin(2x3)的图像，再将 y2 2sin(2x3)的图像上的所有点向右平行移动个单位长度，得到y2 2sin(2x23)的图像(9 分)令 2x23 k2，kZ，解得 xk2 12，kZ.(10 分)令k2 1234，kZ，解得 k2 23，kZ.(11 分)由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.(12 分)【回顾】(1)求角时要注意角与值(函数值)之间是一对一，还是二对一(2)图像变换规律：伸缩：横坐标变为原来的倍，则 xx.纵坐标亦如此 平移：
6、正减负加向 x 轴正方向平移 2 个单位，xx2；向 y 轴正方向平移 2 个单位，yy2.向 x 轴负方向平移 2 个单位，xx2，向 y 轴负方向平移 2 个单位，yy2.性质(2016天津)已知函数 f(x)4tanxsin(2 x)cos(x3)3.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间4，4 上的单调性【审题】(1)根据正切函数的定义域确定 f(x)的定义域，将函数 f(x)化简为 Asin(x)b 的形式后确定其最小正周期即可；(2)结合(1)及正弦函数 ysinx 的单调性进行求解【解析】(1)f(x)的定义域为x|x2 k，kZ f(x)4tanxc
7、osxcos(x3)34sinxcos(x3)34sinx(12cosx 32 sinx)32sinxcosx2 3sin2x 3sin2x3(1cos2x)3sin2x 3cos2x2sin(2x3)所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)令 z2x3，函数 y2sinz 的单调递增区间是2 2k，2 2k，kZ.由2 2k2x3 2 2k，得12kx512 k，kZ.设 A4，4，Bx|12kx512 k，kZ，易知 AB12，4 所以，当 x4，4 时，f(x)在区间12，4 上单调递增，在区间4，12上单调递减【回顾】(1)本题考查三角恒等变换、三角函数的性质等基础知识，考查考生的运
8、算求解能力(2)三角恒等变换是核心、基石 三角函数的性质主要有：定义域、值域、周期、单调性、奇偶性、对称性等 要牢记 ysinx、ycosx、ytanx 这三个函数的上述相关性质1(2016武汉调研)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)(0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图像若 yg(x)图像的一个对称中心为(512，0)，求 的最小值解析(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6.数据补全如下表：x02322 x123712561312 Asin(x)05050 且函数表达式为 f(x)5sin(2x6)(2)由(1)知 f(x)5sin(2x6)，得 g(x)5sin(2
9、x26)因为 ysinx 的对称中心为(k，0)，kZ.令 2x26 k，解得 xk2 12，kZ.由于函数 yg(x)的图像关于点(512，0)成中心对称，令k2 12512，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.回顾 确定 yAsin(x)的解析式的步骤与方法(1)首先确定振幅和周期，从而得到 A 和；(2)确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(，0)作为突破口，要注意从图像的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点，具体如下：“第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为 x0；“第二点”(即图像的“峰点”)为 x2；“第三点”(即图像下降时与
10、x轴的交点)为 x；“第四点”(即图像的“谷点”为 x32；“第五点”为 x2.确定 时要注意所给 的范围2(2016吉林质检)已知向量 m(2sin x，sin x)，n(cos x，2 3sin x)(0)，函数 f(x)mn 3，直线 xx1，xx2 是函数 yf(x)的图像的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为2.(1)求 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间；(3)若 f()23，求 sin(46)的值解析(1)已知向量 m(2sinx，sinx)，n(cosx，2 3sinx)(0)，所以函数 f(x)mn 32sinxcosxsinx(2 3sinx)3sin2x2 3
11、sin2x 3sin2x 3cos2x2sin(2x3)因为直线 xx1，xx2 是函数 yf(x)的图像的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为2，所以函数 f(x)的最小正周期为2 2，即22，得 1.(2)由(1)知，f(x)2sin(2x3)，令 2k2 2x3 2k2(kZ)，解得 k512 xk12(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为k512，k12，kZ.(3)由已知条件，得 f()2sin(23)23，所以 sin(23)13，cos2(23)89，所以 sin(46)sin(423 2)cos2(23)79.3(2016成都六校)将函数 f(x)2sin(x)(0，
12、0)的图像向右平移4 个单位后得到 g(x)的图像，已知 g(x)的部分图像如图所示，该图像与 y 轴相交于点 F(0，1)，与 x 轴相交于点 P，Q，点 M 为最高点，且MPQ 的面积为2.(1)求函数 g(x)的解析式；(2)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，g(A)1，且 a 5，求ABC 面积的最大值解析(1)由题可知 g(x)2sin(x4)SMPQ122|PQ|2，|PQ|T22，T，即 2.又g(0)2sin(2)1，且2 2 0)，且 f(x)图像上相邻两最高点间的距离为，求 f(A)的取值范围解析(1)因为 a2b26abcosC，由余弦定理知 a2b
13、2c22abcosC，所以 cosC c24ab.又因为 sin2C2sinAsinB，则由正弦定理得 c22ab，所以 cosC c24ab2ab4ab12，因为 C(0，)，所以 C3.(2)f(x)sin(x6)cosx 32 sinx32cosx 3sin(x3)由已知可得2，所以 2，则 f(A)3sin(2A3)因为 C3，所以 B23 A，因为 0A2，0B2，所以6 A2，所以 02A3 23.根据正弦函数图像，所以 00)，则 aksinA，bksinB，cksinC.代入cosAa cosBb sinCc 中，有cosAksinA cosBksinB sinCksinC，变
14、形可得 sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sinC，所以 sinAsinBsinC.(2)由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cosAb2c2a22bc35.所以 sinA 1cos2A45.由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以45sinB45cosB35sinB，故 tanBsinBcosB4.【回顾】灵活运用正、余弦定理以及三角形内角和定理是解决本题的关键求三角形面积(2016石家庄质检二)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2bcosCc2a
15、.(1)求角 B 的大小；(2)若 BD 为 AC 边上的中线，cosA17，BD 1292，求ABC的面积【审题】(1)由正弦定理结合三角形内角和定理可求 B.(2)由 cosA 可求 sinA.想法求 b，c 两边【解析】(1)2bcosCc2a，由正弦定理，得 2sinBcosCsinC2sinA，(2 分)ABC，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.(3 分)2sinBcosCsinC2(sinBcosCcosBsinC)sinC2cosBsinC.因为 0C，所以 sinC0，所以 cosB12，因为 0B0，cosB45.(1)由 cosB45，得 sinB35
16、，sinA25，absinAsinB23，又 ab10，a4.(2)b2a2c22accosB，b3 5，a5，4525c28c，即 c28c200，解得 c10 或 c2(舍去)，S12acsinB15.3(2016山东)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 2(tanAtanB)tanAcosBtanBcosA.(1)证明：ab2c；(2)求 cosC 的最小值解析(1)由题意知 2(sinAcosAsinBcosB)sinAcosAcosBsinBcosAcosB，化简得 2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即 2sin(AB)sinAsinB
17、，因为 ABC，所以 sin(AB)sin(C)sinC.从而 sinAsinB2sinC.由正弦定理得 ab2c.(2)由(1)知 cab2，所以 cosCa2b2c22aba2b2（ab2）22ab38(abba)1412，当且仅当 ab 时，等号成立 故 cosC 的最小值为12.4(2016武昌调研)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2BcosB1cosAcosC.(1)求证：a，b，c 成等比数列；(2)若 b2，求ABC 的面积的最大值解析(1)在ABC 中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，si
18、n2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化简，得 sin2BsinAsinC.由正弦定理，得 b2ac，a，b，c 成等比数列(2)由(1)及题设条件，得 ac4.则 cosBa2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，当且仅当 ac2 时，等号成立 0B，sinB 1cos2B1（12）2 32.SABC12acsinB124 32 3.ABC 的面积的最大值为 3.调研四 判断三角形形状(2016山西协作体联考)已知在ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，向量 m(2b，1)，n(2ac，cosC)，且 mn.(1)若 b2ac，试判断ABC
19、 的形状；(2)求 y1 2cos2A1tanA的值域【审题】第(1)问通过向量平行，结合正、余弦定理，利用两角和的正弦公式进行求解；第(2)问是关于角 A 的三角函数的值域问题，利用二倍角公式，将函数化为常见的 yMsin(x)的形式，再求函数的值域【解析】(1)由已知，mn，则 2bcosC2ac，由正弦定理，得 2sinBcosC2sin(BC)sinC，即 2sinBcosC2sinBcosC2cosBsinCsinC，在ABC 中，sinC0，因而 2cosB1，则 B3.又 b2ac，b2a2c22accosB，因而 aca2c22accos3，即(ac)20，所以 ac，ABC
20、为等边三角形(2)y1 2cos2A1tanA 12（cos2Asin2A）1sinAcosA 12cosA(cosAsinA)sin2Acos2A 2sin(2A4)，其中 A(0，23)因而所求函数的值域为(1，2【回顾】判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个定理，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解1
21、(2016福州五校联考)已知在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 c 为最长边(1)若 sin2Asin2B1，试判断ABC 的形状；(2)若 a2c22b，且 sinB4cosAsinC，求 b 的值解析(1)由已知，sin2Asin2B1，sin2A1sin2Bcos2B，由于 c 为最长边，A，B 均为锐角，则 sinAcosB.sinAsin(2 B)，A2 B，即 AB2.故ABC 为直角三角形(2)由已知 sinB4cosAsinC，结合正弦定理和余弦定理得 b4（b2c2a2）2bcc，即 b22(a2c2)，又 a2c22b，b24b，又 b0，b4.请做：三角函数专练作业（十七）-（十八）
