1、2021年中考数学压轴题专项训练图形的相似1如图1，RtABC中，ACB90，AC6cm，BC8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值解：（1）当BPQBAC时，BP3t，QC2t，AB10cm，BC8cm，；当BPQBCA时，或时，BPQ与ABC相似；（2）如图所示，过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB3t，NAC+NCA90，PCM+NCA90，NACPCM且
2、ACQPMC90，ACQCMP，解得：；2如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，1），请解答下列问题：（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，点A1的坐标为（2，1）；（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把A1B1C1按相似比2：1放大，得到A2B2C2，请画出A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为（2m+3，2n+3）解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）如图所示，A2B2C2即为所求；P2的坐标为（2m+3，2n+3）故答案为：（2m+3，2n+
3、3）3综合与实践探究正方形旋转中的数学问题问题情境：已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB2OC将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形ABCD（点A，B，C，D分别是点A，B，C，D的对应点）同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，当点B落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段AB与CD交于点M求证：四边形OBMC是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2，当线段AD经过点D时，猜想线段CO与DD满足的数量关系，并说明理由；深入探究：（3）请从下面A，B两题中任选一题作答我选择A题A在图2中连接AA和BB，请直接写出的值B“好问”
4、小组提出问题：如图3，在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB交线段AA于点P连接OP，并过点O作OQBB于点Q请在图3中补全图形，并直接写出的值（1）证明：四边形 ABCD是正方形，BCCD，C90，CBDCDB45； 由旋转可知，OBOB，OBBOBB45，BOC是BOB的一个外角，BOCOBB+OBB45+4590，四边形 ABCD是正方形，OBM90，四边形 OBMC是矩形； （2）解：DD2CO，理由如下： 如图2，连接 OD，OD，过点 O作 OEDD于点 E，则OED90， 由旋转可知，ODOD，则 DD2DE，四边形 ABCD是正方形，COED90，四边形 OCDE
5、是矩形，CODE，DD2CO； （3）解：A、如图2，连接AA，BB，OA，OA，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形ABCD，OBOB，OAOA，BOBAOA，OBBOAA，ABBC，OB2OC，设OCx，则OB2x，ABBC3x，OAx，；B、如图3，连接OA，OA，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形ABCD，OBOB，OAOA，BOBAOA，OBBOAA，点A，B，O，P四点共圆，ABO+APO180，APO90，OQBB，BQOAPO90，OAPOBQ，4如图，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y轴上，且OA8，OC6，连接OB，点D为OB中点，点E从点A出发以每秒1个
6、单位长度运动到点B停止，设运动时间为t（0t6），连接DE，作DFDE交OA于F，连接EF（1）如图1，当四边形DFAE为矩形时，求t的值；（2）如图2，试证明在运动过程中，DFEABO；（3）当t为何值时，AEF面积最大？最大值为多少？解：（1）四边形OABC是矩形，ABOC6，OAB90，四边形DFAE是矩形，BED90OAB，DEOA，点D是OB的中点，点E是AB中点，AEAB3，由运动知，AEt，t3；（2）如图2所示：作DMOA于M，DNAB于N，四边形OABC是矩形，OAAB，四边形DMAN是矩形，MDN90，DMAB，DNOA，点D为OB的中点，M、N分别是OA、AB的中点，DM
7、AB3，DNOA4，EDF90，FDMEDN，又DMFDNE90，DMFDNE，OA8，AB6，FDEBAO90，DFEABO；（3）如图2，由（2）知，DMFDNE，由运动知，AEt，当0t3时，NE3t，MF（3t），AFAM+MF4+（3t）8t当3t6时，NEt3，MF（t3），AFAMMF4（t3）8t，SAEFAEAFt（8t）（t3）2+6，当t3时，AEF面积最大，最大值为65如图，MBN45，点P为MBN内的一个动点，过点P作BPA与BPC，使得BPABPC135，分别交BM、BN于点A、C（1）求证：CPBBPA；（2）连接AC，若ACBC，试求的值；（3）记APa，BPb
8、，CPc，若a+bc20，a2b，且a、b、c为整数，求a，b，c的值（1）证明：BPA135，ABP+BAP18013545，ABP+CBPMBN45，ABP+BAPABP+CBP，BAPCBP，BPABPC，CPBBPA；（2）解：ACBC，MBN45，ACB是等腰直角三角形，ABBC，CPBBPA，设PCa，则BPa，AP2a，APC36013513590，ACa，；（3）解：CPBBPA，即2，c，a+bc2b+bb，b20，b8，a、b、c为整数，当b8时，a16，c4；当b7时，a14，c1；当b7时，c0（不合题意舍去），a，b，c的值分别为16，8，4或14，7，16如图，Rt
9、ABC中，BAC90，AB2，AC4，D是BC边上一点，且BDCD，G是BC边上的一动点，GEAD分别交直线AC，AB于F，E两点（1）AD；（2）如图1，当GF1时，求的值；（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由解：（1）BAC90，且BDCD，ADBC，BC2，AD2，故答案为：；（2）如图1，GFAD，CFGCAD，BDCDBCAD，CADC，CFGC，CGFG1，BG21，ADGE，BGEBDA，；（3）如图2，随点C位置的改变，FG+EG是一个定值，理由如下：ADBCBD，BBAD，ADEG，BADE，BE，EGBG，由（
10、2）知，GFGC，EG+FGBG+CGBC2，FG+EG是一个定值，为27ABC中，C90，A60，AC2cm长为1cm的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts（1）当0t1时，PMtcm，QN（3t）cm（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？解：（1）由题意得：AMt，PMAB，PMA90，A60，APM30，PMAMtC90，B
11、90A30，AB2AC4，BCAC2，MN1，BNAMAM13t，QNAB，QNBN（3t）；故答案为： tcm，（3t）cm（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN（3t）由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PMQN，即t（3t），t当ts时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当ts时，四边形MNQP为矩形，此时PQAB，PQCABC除此之外，当CPQB30时，QPCABC，此时tan30cos60，AP2AM2tCP22tcos30，BQ（3t）又BC2，CQ2综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似8如图1，在RtABC中，BAC90，A
12、BAC，D，E两点分别在AC，BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现：当0时，的值为；（2）拓展探究：当0360时，若EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE5，AC4，直接写出线段BE的长7或1解：（1）BAC90，ABAC，ABC为等腰直角三角形，B45，DEAB，DECB45，CDEA90，DEC为等腰直角三角形，cosC，DEAB，故答案为：；（2）由（1）知，BAC和CDE均为等腰直角三角形，又BCEACD，BCEACD，即；（3）如图31，当点E在线段BA的延长线上时，BAC90，CAE
13、90，AE3，BEBA+AE4+37；如图32，当点E在线段BA上时，AE3，BEBAAE431，综上所述，BE的长为7或1，故答案为：7或19如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，交AC于H点，过点D作DFDE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G（1）请写出AE和CF的数量关系：相等；（2）求证：点G是EF的中点；（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE1，求GHGA的值解：（1）四边形ABCD是正方形，ADCEADDCBDCF90，ADDC，DFDE，EDF90，ADE+EDCEDC+CDF，ADECDF，ADECDF（ASA），AECF，故答案为：相等；（2）如右
14、图，过E作EMBC交AC于M，四边形ABCD是正方形，AC为对角线，EMBC，AEMB90，AME90EAM45，AEMEAM，AEEM，AECF，EMCF，EMBC，MEGGFC，EMGGCF，EMGFCG（ASA），EGFG，G为EF的中点；（3）由（1）知DAEDCF，DEDF，DEFDFE，DEF90，DEF45，BAC45，DEFBAC，AGEAGE，GEHGAE，EG2GHAG，AE1，则CF1，BF5，EF，10如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P
15、，线段EF与射线CA相交于点Q（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：BPECEQ（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，BPE和CEQ是否相似？说明理由；若BP1，CQ，求PQ的长（1）证明：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45，BEQEQC+C，即BEP+DEFEQC+C，BEP+45EQC+45，BEPEQC，BC，BPECEQ；（2）BPECEQ；理由如下：BEQEQC+C，即BEP+DEFEQC+C，BEP+45EQC+45，BEPEQC，又BC，BPECEQ；，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，BECE，解得：BECE，BC3，在RtABC中，A
16、BAC，ABACBC33，AQCQAC3，APABBP312，在RtAPQ中，PQ11已知：在EFG中，EFG90，EFFG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上（1）如图1，当点G在CD上时，求证：AEFDFG；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：ENAE+DN；（3）如图3，若AEAD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2MNMD解：（1）四边形ABCD是矩形，AD90，AEF+AFE90，EFG90，AFE+DFG90，AEFDFG，EFFG，AEFDFG（AAS）；（2）如图2，延长NF，EA相交于H，AFHDFN，由（1）知，EAFD
17、90，HAFD90，点F是AD的中点，AFDF，AHFDNF（ASA），AHDN，FHFN，EFN90，EHEN，EHAE+AHAE+DN，ENAE+DN；（3）如图3，过点G作GPAD交AD的延长线于P，P90，同（1）的方法得，AEFPFG（AAS），AFPG，PFAE，AEAD，PFAD，AFPD，PGPD，P90，PDG45，MDG45，在RtEFG中，EFFG，FGE45，FGEGDM，GMNDMG，MGNMDG，MG2MNMD12在ABC中，ACB90，AB20，BC12（1）如图1，折叠ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若SABC9SDHQ，则HQ4
18、（2）如图2，折叠ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F若FMAC，求证：四边形AEMF是菱形；（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得CMP和HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由解：（1）如图1中，在ABC中，ACB90，AB20，BC12，AC16，设HQx，HQBC，AQx，SABC9SDHQ，16129xx，x4或4（舍弃），HQ4，故答案为4（2）如图2中，由翻折不变性可知：AEEM，AFFM，AFEMFE，FMAC，AEFMFE，AEFAFE，AEAF，AEAFMFME，四边形AEMF是菱形（3）如图3中，设AEEMFMA
19、F4m，则BM3m，FB5m，4m+5m20，m，AEEM，ECACAE16，CM，QH4，AQ，QC，设PQx，当时，HQPMCP，解得：x，当时，HQPPCM，解得：x8或，经检验：x10或是分式方程的解，且符合题意，综上所述，满足条件长QP的值为或8或13如图，在ABC中，ABAC10，BC16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）以D为顶点作ADEB，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于点F（1）求证：ABCEBDCD；（2）当DF平分ADC时，求AE的长；（3）当AEF是等腰三角形时，求BD的长（1）证明：ABAC，BC，ADCBAD+B，ADEB，BA
20、DCDE，又BC，BADCDE，即ABCEBDCD；（2）解：DF平分ADC，ADECDE，CDEBAD，ADEBAD，DFAB，BADADEB，BADC，又BB，BDABAC，即解得，BD，解得，AE；（3）解：作AHBC于H，ABAC，AHBC，BHHCBC8，由勾股定理得，AH6，tanB，tanADF，设AF3x，则AD4x，由勾股定理得，DF5x，BADCDE，当点F在DE的延长线上，FAFE时，DE5x3x2x，解得，CD5，BDBCCD11，当EAEF时，DEEF2.5x，解得，CD，BDBCCD；当AEAF3x时，DEx，解得，CD，BDBCCD；当点F在线段DE上时，AFE为
21、钝角，只有FAFE3x，则DE8x，解得，CD2016，不合题意，AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或14如图，已知平行四边形ABCD中，AD，AB5，tanA2，点E在射线AD上，过点E作EFAD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AEm（1）当点E在边AD上时，求CEF的面积；（用含m的代数式表示）当SDCE4SBFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果AEF与CFG相似，求m的值解：（1）EFAD，AEF90，在RtAEF中，tanA2，AEm，EFAEtanA2m，根据勾股定理得，AFm，AB5，BF5m，四边形ABCD是平行
22、四边形，BCAD，ADBC，GAEF90，AEFBGF，BGm，CGBC+BG+m2m，SCEFEFCG2m（2m）2mm2；由知，AEFBGF，FGEF2m2（m），EGEF+FG2m+2（m）2，SCDEDEEG（m）25m，SBFGBGFG（m）2（m）（m）2，SDCE4SBFG时，5m4（m）2，m（舍）或m，DEADAE，AE：ED：3，即：AE：ED的值为3；（2）四边形ABCD是平行四边形，BCAD，ADBC，EFAD，EFBC，AEFCGF90，AEF与CFG相似，当AEFCGF时，如图1，AFECFG，EFBC，BGBC，ADBC，CBFA，tanA2，tanCBF2，在R
23、tBGF中，FGBGtanCBF，根据勾股定理得， BF，AFAB+BF5+，BCAD，BGFAEF，m；当AEFCGF时，如图2，EAFGFC，EAF+AFE90，GFC+AFE90，AFC90，ADBC，CBFA，tanCBFtanA2，在RBFC中，CFBFCBF2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2BC2，BF2+4BF2（）2，BF1，AFAB+BF6，在RtBGF中，同理：BG，ADBC，BGFAEF，m即：如果AEF与CFG相似，m的值为或15如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上
24、运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为2.8解：（1）A（8，0）、C（0，6），OA8，OC6，四边形OABC是矩形，ABCOAB90，BCOA8，ABOC6，故答案为：；（2）的值不发生变化，理由如下：OABBPQ90，AOB+BPQ180，A、B、P、Q四点共圆，PQBPAB，ABCBPQ90，PBQBCA，；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在RtABC中，由勾股定理得：AC10，由折叠的性质得：BQAP，PMAM，AMB90ABC，BAMCAB，ABMACB，即，解得：AM3.6，PA2AM7.2，PCACPA107.22.8；故答案为：2.8
