1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式0的解集是()A.x|0x2B.x|0x2C.x|x0或x2D.x|x2解析原不等式可化为解得0x2,故不等式的解集为x|0B,所以B=30,故选A.答案A4.已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n(nN*),若p-q=5,则ap-aq等于()A.10B.15C.-5D.20解析因为Sn=2n2-3n(nN*),所以an=Sn-Sn-1=4n-5(n2).又a1=S1=-1,适合上式,所以数列an的通项公式为an=4n-5(nN*).于是ap-aq=4(p-q)=20.故选D.答案D5.在ABC中
2、,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,sin C=2sin B,则tan A等于()A.B.1C.D.-解析由sinC=2sinB,得=2,利用正弦定理化简得=2,即c=2b.由,整理得a2-b2=bc,所以cosA=.由A(0,),知A=,则tanA=tan.故选C.答案C6.在等差数列an中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,则an的前14项和为()A.55B.60C.65D.70解析在等差数列an中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,a5+a10=10,an的前14项和S14=(a1+a14)=7(a5+a10)=710=70.故选D.答案D7.已知M(
3、-4,0),N(0,-3),P(x,y)中的x,y满足则PMN面积的取值范围是()A.12,24B.12,25C.6,12D.解析作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.因为过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,且两条直线间的距离d=,所以当点P在原点O处时,PMN的面积最小,其面积为OMN的面积,此时SOMN=34=6;当点P在线段AB上时,PMN的面积最大,且为=12,故选C.答案C8.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,且B=2A,则cos 2A等于()A.B.-C.D.-解析因为a=b,所以
4、sinA=sinB,即sinA=sin2A=sinAcosA,于是cosA=,故cos2A=2cos2A-1=.答案A9.已知不等式组则z=的最大值与最小值的比值为()A.-2B.-C.-D.-解析如图,不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知z=表示平面区域内的点与定点P(-1,0)的连线的斜率.由可得即A(2,2).由可得即B(3,-1).由图知直线AP的斜率最大,此时z=最大,故zmax=;直线BP的斜率最小,zmin=-.故z=的最大值与最小值的比值为-,故选C.答案C10.在数列an中,a1=1,an+1=an+n+1,设数列的前n项和为Sn,若Snm对一切正整数n恒成立,则实
5、数m的取值范围为()A.(3,+)B.3,+)C.(2,+)D.2,+)解析由题可得a1=1,an+1-an=n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(n-1+1)+(n-2+1)+(1+1)+1=n+(n-1)+(n-2)+2+1=,当n=1时,也满足上式,an=(nN*),=2,Sn=21-+=21-.Sn,y1,不等式m恒成立,则m的最大值为()A.2B.4C.8D.16解析依题意得,2x-10,y-10,42=8,即8,当且仅当时,取等号,因此的最小值是8,即m8.故m的最大值是8,故选C.答案C二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知在A
6、BC中,AB=,BC=1,sin B+cos B=0,则ABC的面积为.解析由sinB+cosB=0可得tanB=-,所以B=120,于是ABC的面积为S=ABBCsinB=1sin120=.答案14.若关于x的不等式x2-ax+10和ax2+x-10对任意的xR均不成立,则实数a的取值范围是.解析依题意知x2-ax+10和ax2+x-10对任意xR恒成立,故a0,且解得即-20)的最小值为.解析由题意知,公比q1.因为Sn=qn,而题中Sn=t3n-1-3n-,易知-=-,故t=1,所以y=x+1+10.因为x0,所以x+11,所以y2+10=16,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.所
7、以函数y=(x0)的最小值为16.答案16三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知关于x的一元二次不等式kx2-2x+6k0(k0).(1)若不等式的解集是x|x-2,求k的值;(2)若不等式的解集是R,求k的取值范围.解(1)不等式的解集为x|x-2,-3,-2是一元二次方程kx2-2x+6k=0的两根,且k0.k=-.(2)不等式的解集为R,即k-.故k的取值范围是.18.(本小题满分12分)(2020山东高考)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在AB
8、C,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,?解方案一:选条件.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.由ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由此可得b=c.所以B=C=.由A+B+C=,得A=-.由csinA=3,即csin=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件时,问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件.由C=和余弦定理,得.由sinA=sinB及正弦定理,得a=b.于是,由
9、此可得b=c.由c=b,与b=c矛盾.因此,选条件时,问题中的三角形不存在.19.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn=-n2+2kn(kN*),且Sn的最大值为4.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=,求数列bn的前n项和.解(1)由题意知当n=-=k时,Sn取得最大值4,所以-k2+2kk=k2=4,解得k=2或k=-2(舍去),所以Sn=-n2+4n.当n=1时,a1=S1=3.当n2时,an=Sn-Sn-1=5-2n.经验证n=1时也符合该式.故数列an的通项公式为an=5-2n(nN*).(2)由(1)知bn=.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=+,Tn=+,
10、两式相减得Tn=+=2,所以Tn=4-=4-.20.(本小题满分12分)如图,在ABC中,点P在BC边上,PAC=60,PC=2,AP+AC=4.(1)求ACP的度数;(2)若APB的面积是,求sin BAP的值.解(1)在APC中,因为PAC=60,PC=2,AP+AC=4,PC2=AP2+AC2-2APACcosPAC,所以22=AP2+(4-AP)2-2AP(4-AP)cos60,整理得AP2-4AP+4=0,解得AP=2.所以AC=2.所以APC是等边三角形,所以ACP=60.(2)因为APB是APC的外角,所以APB=120.因为APB的面积是,所以APPBsinAPB=,解得PB=
11、3.在APB中,AB2=AP2+PB2-2APPBcosAPB=22+32-223cos120=19,所以AB=.在APB中,由正弦定理得,所以sinBAP=.21.(本小题满分12分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A,B两台机床上加工,A,B两台机床每加工一件甲种产品所需工时分别为1工时、2工时;加工一件乙种产品所需工时分别为2工时和1工时.若A,B两种机床每月有效使用时数分别为400工时、500工时,如何安排生产,才能使销售收入最大?最大销售收入是多少?解设生产甲种产品x件,乙种产品y件,销售收入为z,则z=3x+2y,作出不等式组所
12、表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线l0:3x+2y=0,平移直线l0至经过点P时,可使销售收入z取最大值.解所以zmax=3200+2100=800.故生产甲种产品200件,乙种产品100件,才能使销售收入最大,且最大销售收入是800千元.22.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=an+1+n+1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log3(-an+1),设数列的前n项和为Tn,求证:Tn.(1)解由Sn=an+1+n+1(nN*),得Sn-1=an+n(n2,nN*),两式相减,并化简,得an+1=3an-2,即an+1-1=3(an-1).因为a1-1=-2-1=-30,所以an-1是以-3为首项,3为公比的等比数列,所以an-1=(-3)3n-1=-3n.故an=-3n+1.(2)证明由bn=log3(-an+1)=log33n=n,得,Tn=+=.
