1、第三节双曲线课时作业练1.若双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为.答案-62,0解析双曲线的方程可化为x2-y212=1,a2=1,b2=12,c2=a2+b2=32,c=62.所求坐标为-62,0.2.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为3x-4y=0,则该双曲线的离心率为.答案54解析由题意得ba=34,则离心率e=ca=1+ba2=54.3.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的一点,它的一条渐近线的方程为y=32x,两焦点间的距离为213,F1、F2分别是该双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3
2、,则|PF2|=.答案7解析由题意知ba=32,2c=2a2+b2=213,所以a=2,b=3,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=4,又|PF1|=3,故|PF2|=7.4.双曲线的焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为54,则双曲线的标准方程为.答案x264-y236=1解析由已知可设该双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则2b=12,即b=6,所以b2=36.又e=ca=54,c2=a2+b2,故可得a2=64,则该双曲线的标准方程为x264-y236=1.5.已知双曲线的方程为x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点.若PF1PF2,则
3、|PF1|+|PF2|的值为.答案23解析设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2,m2+n2=(22)2,mn=2,(m+n)2=m2+n2+2mn=8+4=12,m+n=23,即|PF1|+|PF2|=23.6.(2018江苏扬州中学高三模拟)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为10,则双曲线C的渐近线方程为.答案y=3x解析由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为10,得c=10a,则c2=a2+b2=10a2,则b=3a,则双曲线C的渐近线方程为y=bax=3x.7.(2019江苏高考数学模拟)若双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则
4、它的两准线之间的距离等于.答案1解析双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则2c=4,c=2,则a+3=4,a=1,则它的两准线之间的距离等于2a2c=212=1.8.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(37)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A,右焦点为F,点B (0, b),且BABF=0,则双曲线C的离心率为.答案5+12解析由题意知A(-a,0),F(c,0),则BABF=(-a,-b)(c,-b)=-ac+b2=0,则ac=b2=c2-a2,即e2-e-1=0,且e1,解得e=5+12.9.已知椭圆D:x250+y225=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双
5、曲线G与椭圆D有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.解析因为椭圆D的两个焦点坐标为(-5,0),(5,0),所以双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,c=5.设双曲线G的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以渐近线方程为bxay=0且a2+b2=25,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3,所以|5a|b2+a2=3.由解得a=3,b=4,所以双曲线G的方程为x29-y216=1.10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点F2的直线l交双曲线于A,B两点,F1为左焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若F
6、1AB的面积等于62,求直线l的方程.解析(1)依题意可知b=3,ca=2a=1,c=2,所以双曲线的方程为x2-y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).易验证当直线l的斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2)(k0),由y=k(x-2),x2-y23=1消去y,得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k3,所以x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,y1-y2=k(x1-x2),所以F1AB的面积S=122c|y1-y2|=2|k|x1-x2|=2|k|16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|=12|k
7、|k2+1|k2-3|=62.得k4+8k2-9=0,解得k=1.所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.11.已知椭圆C1的方程为x24+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OAOB2,求k的取值范围.解析(1)设双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为x23-y2=1.(2)将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3
8、k2)x2-62kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得1-3k20,=(-62k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)0,k22,3k2+73k2-12,即-3k2+93k2-10,解得13k23,由得13k20,解得q=1+52(舍负).6.已知函数f(x)=3sin x+cos x(0),xR.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻两个交点的距离的最小值为3,则 f(x)的最小正周期为.答案解析曲线f(x)=2sinx+6(0)与直线y=1的相邻两个交点的最小值是3,即x+6=6+2k,kZ和x+6=56+2k,kZ对应的x的值相差3,即23=3,解得=2,所以f
9、x的最小正周期T=2=.7.设甲,乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是.答案32解析设甲,乙两个圆柱的底面半径分别是r1,r2,高分别是l1,l2,则由S1S2=94可得r1r2=32.又两个圆柱的侧面积相等,即2r1l1=2r2l2,所以l1l2=r2r1=23,所以V1V2=S1l1S2l2=9423=32.8.如图,在ABC中,已知BAC=3,AB=2,AC=3,DC=2BD,AE=3ED,则BE=.答案134解析由题意可得ABAC=2312=3,且AE=34AD=34AB+BD=34AB+3413BC=34AB
10、+14AC-AB=12AB+14AC,所以BE=AE-AB=-12AB+14AC,则BE=-12AB+14AC2=144-143+1169=134.9.已知函数f(x)=12x2,g(x)=aln x.(1)若曲线y=f(x)-g(x)在x=1处的切线方程为6x-2y-5=0,求实数a的值;(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不相等的正数x1,x2,都有h(x1)-h(x2)x1-x22恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)y=x-ax,则当x=1时,1-a=3,a=-2.(2)不妨设x1x20,则由h(x1)-h(x2)x1-x22得h(x1)-h(x2)2(x1-x2),即h(x1)-2x1h(x2)-2x2,令m(x)=h(x)-2x,则m(x)在(0,+)上单调递增,则m(x)=h(x)-2=x+ax-20,x(0,+)恒成立,则a(2x-x2)max,x(0,+),当x=1时,(2x-x2)max=1,所以a1,+).
