1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016艺体生文化课-百日突围系列专题13 椭圆椭圆的定义与标准方程【背一背基础知识】1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的定义用符号语言表示：说明：当时，无轨迹；当时，轨迹为线段2椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点；（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点其中几何意义：表示长轴长的一半，表示短轴长的一半，表示焦距长的一半，并且有3椭圆的一般方程：【讲一讲基本技能】1必备技能：（1）在高考中，对于椭圆部分内容，在选择题或填空题中一般考查考生椭圆的
2、定义、离心率、焦点坐标等基础知识的掌握情况；解答题中考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况（2）求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上“定式”就是根据“形”设出椭圆的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为；若焦点在y轴上，则设方程为；若焦点位置不确定，可设方程为“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数或2典型例题例1已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A B C D例2已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2离心率为，过F2的直线l交C
3、与A，B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为（ ）A B C D 【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)例3已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b_【方法总结】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等【练一练趁热打铁】1过点(，)，且与椭圆1有相同焦
4、点的椭圆的标准方程为_【方法总结】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围椭圆的几何性质【背一背基础知识】椭圆的简单几何性质（以为例）：如图1所示，填写各空图1 (1)范围：(2)对称性：关于轴、轴以及原点对称，对称轴为轴、轴，对称中心为(3)顶点：长轴长，短轴长(4)离心率，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁总结可得如下表格：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图 形标准方程定 义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范 围且且顶 点轴 长长轴的长，短轴的长 对 称
5、 性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦 点、焦 距离 心 率 焦点三角形面积弦长公式，【讲一讲基本技能】1必备技能：讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求得；（2）列出关于的齐次方程（或不等式），然后根据，消去，转化为关于的方程（或不等式）求解2典型例题例1已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D例2 椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 【方法总结】求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二
6、是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率【练一练趁热打铁】1设是椭圆的长轴，点在上，且若，则的两个焦点之间的距离为_2过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 3已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1求椭圆C的标准方程；直线与椭圆的位置关系【背一背基础知识】椭圆方程：，直线斜率为k，弦长公式，【讲一讲基本技能】1必备技能：解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二
7、次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解2典型例题例1如图，F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值例2在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值【练一练趁热打铁】1. 设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐
8、标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.（）求E的离心率e;（）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB.2. 如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.（一） 选择题（12*5=60分）1下列曲线中焦点坐标为的是（ ）A By4x2 C D2已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）3曲线与曲线的（ ）A焦距相等 B离心率相等 C准线相同 D焦点相同4若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的
9、任意一点，则的最大值为A2 B3 C6 D85已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 A16 B8 C25 D326“”是“方程表示椭圆”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件7设是椭圆：（）与双曲线的公共焦点，它们在第一象限交于点，离心率分别为和，且线段的垂直平分线过，则的最小值为（ ）A B C D8直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、9是椭圆的两个焦点，点是椭圆上一点，且，则的面积为（ ）A7 B C D10若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A -2 B 2 C 4 D
10、 811过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为（ ）A B C D12若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A B C D（二） 填空题（4*5=20分）13一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .14如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.则椭圆的标准方程为 .BAOxylPC15平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.则椭圆的方程为 .16方程表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆； 若曲线C为双曲线，则或；若，则曲线C为椭圆； 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t其中真命题的序号是_（写出所有正确命题的序号） 高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北，河北）八地区试卷投稿QQ 2355394501
