1、习题课抛物线的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则此动圆必过定点() A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,0)解析如图,圆心C在抛物线上,设与直线x+2=0相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线x+2=0为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0).故选B.答案B2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x
2、-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案B3.若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=-4xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=8x解析设动圆圆心为O,半径为r,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),则|OF|=r+1,因为O到直线x+1=0的距离为r,所以O到直线x+2=0的距离为r+1,则动点O到定点(2,0)的距离等于到直线x+2=0的距离,故动点O的轨迹为抛物线,焦点为F(2,0),准线为x=-2,轨迹方程为y2=8x.故选D.答案D4.定点M与抛物线
3、y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P坐标为()A.(0,0)B.(1,)C.(2,2)D.解析如图,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为y=,与y2=2x联立,求得x=2,y=2或x=,y=-(舍去),所以点P坐标为(2,2).答案C5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)解析圆心到
4、抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).答案C6.焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=.解析由条件知|MF|=|MN|=p,MFMN,在MNF中,FMN=90,得|FN|=p.答案p7.若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值等于.解析易知点A在抛物线外.点P到x=-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点
5、A(2,3)的距离之和减1.当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=-1.答案-18.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且AOB的面积为16,则AOB等于.解析由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.设A,B,a0,则SAOB=2a=16,解得a=4.所以AOB为等腰直角三角形,AOB=90.答案909.设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;(2)
6、求证:是一个定值.(1)解依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,x1x2=1.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.(2)证明设直线l的方程为x=ky+1,直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,整理得y2-4ky-4=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4.因为=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4
7、k2+1-4=-3,所以是一个定值.10.动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上.(1)求圆心P的轨迹Q的方程;(2)过点F作曲线Q的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点.(1)解设P(x,y),根据题意,有=x+1,化简,得y2=4x,即圆心P的轨迹Q的方程为y2=4x.(2)证明由题意,知直线AB的斜率存在且不为0.设直线lAB:y=k(x-1),A(xA,yA),B(xB,yB),代入y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以xA+xB=.因为M是线段AB的中点,所以M.因为ABCD,所以将点M坐标中的k换成-,即得N
8、(2k2+1,-2k).当=2k2+1,即k=1时,直线lMN:x=3;当k1时,直线lMN:y+2k=(x-2k2-1).整理,得(1-k2)y=k(x-3),所以直线MN过定点(3,0).综上所述,不论k为何值,直线MN必过定点(3,0).能力提升1.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k等于()A.B.C.D.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20.由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.根据抛物线的定义得,|FA|=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB
9、|,所以x1=2x2+2.由得x2=1,所以B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.答案D2.已知A(3,2),若点P是抛物线y2=8x上任意一点,点Q是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则|PA|+|PQ|的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析如图,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线l的方程x=-2,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),半径r=1,过点P作PB垂直准线l,垂足为B,由抛物线的定义可知|PB|=|PF|,则|PA|+|PQ|PA|+|PF|-r=|PA|+|PB|-1,当A,P,B三点共线时|PA|+|PB|取最小值3+2=5,|PA|+|PQ|PA|
10、+|PB|-15-1=4.即有|PA|+|PQ|取得最小值4,故选B.答案B3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则|+|+|=.解析由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1.又=0,可知F是ABC的重心,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以=1,即x1+x2+x3=3.由抛物线定义可得|=x1+1,|=x2+1,|=x3+1,所以|+|+|=x1+x2+x3+3=3+3=6.答案64.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x
11、2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x00),则-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由得ky2-4y+4b=0,得y1y2=,则x1x2=,得=-4,所以=-2,有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).答案(2,0)5.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(2,m)到焦点F的距离为3,直线l:y=x-1与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)求AOB的面积S.解(1)抛物线C的顶点在原
12、点,焦点在x轴上,且过一点P(2,m),所以可设抛物线的方程为y2=2px(p0),因为P(2,m)到焦点的距离为3,即2+=3,解得p=2,即抛物线的标准方程为y2=4x.(2)联立方程化简,得x2-6x+1=0.设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=6,x1x2=1,可得|AB|=|x1-x2|=8,点O到直线l的距离d=,所以AOB的面积为S=|AB|d=8=2.6.(选做题)设抛物线C:x2=2py(0p0,x1+x2=4k,x1x2=-8.kQN=,直线QN方程为y-y1=(x+x1),即y=y1+(x+x1)=x+x+,x1x2=-8,QN方程为y=x-2,即直线
13、QN方程恒过定点(0,-2).(方法二)依题意知直线QN的斜率存在且不为0,设直线QN的方程为y=kx+b,Q(x1,y1),N(x2,y2),则M(-x1,y1),联立消去y得x2-4kx-4b=0.Q,N是抛物线C上不同两点,必有0,x1+x2=4k,x1x2=-4b.M,A,N点共线,=(-x1,y1-2),=(x2,y2-2),-x1(y2-2)-x2(y1-2)=0.-x1(kx2+b-2)-x2(kx1+b-2)=0,2kx1x2+(b-2)(x1+x2)=0,即2k(-4b)+(b-2)4k=0,化简得kb+2k=0.k0,b=-2.直线QN方程为y=kx-2,直线QN恒过定点(0,-2).
