1、第八章 立体几何初步专题强化练4 空间几何体的内切球和外接球一、选择题 1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,则球O的表面积为 ()A.323B.32C.64D.6432.如图,正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于22,则它的外接球的表面积为 ()A.16B.12C.8D.43.已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O与圆锥的底面和侧面均相切,设球O的体积为V1,圆锥的体积为V2,则V1V2= ()A.18B.38C.14D.8274.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最
2、大值为 ()A.123B.183C.243D.5435.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ()A.4B.92C.6D.3236.已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,侧棱AB=23,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是 ()A.54,4B.2,4C.94,4D.114,4二、填空题7.如图所示,边长为2的正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2,G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S-EFG,使G1、G2、G3三点重合,重合后记
3、为G,则三棱锥S-EFG的外接球的表面积为.8.如图,已知四棱锥P-ABCD的外接球O的体积为36,PA=3,侧棱PA与底面ABCD垂直,四边形ABCD为矩形,点M在球O的表面上运动,则四棱锥M-ABCD体积的最大值为.9.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,ABE,BCF,CDG,ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起ABE,BCF,CDG,ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为.
4、10.将半径为r的5个球放入由一个半径不小于3r的球和这个球的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的五个空间内,若此正四面体的棱长为26,则r的最大值为.答案全解全析一、选择题1.D过球心O作底面ABC的垂线,垂足为O,易知OO=2,OA=23322=233.由球的截面的性质可得OA2=OO2+OA2,所以OA=4+43=43,所以球O的表面积S=4OA2=643.故选D.2.A设正四棱锥外接球的球心为O,半径为R,正四棱锥底面的中心为O1,则O在正四棱锥的高PO1上.在直角三角形ABC中,AC=2AB=222=4,所以AO1=2,所以正四棱锥的高PO1=AP2-AO12=(22)2-22=8
5、-4=2,因为PO1=AO1,所以O与O1重合,即正四棱锥外接球的球心是底面的中心O1,且球的半径R=2,故球的表面积S=4R2=16.故选A.3.B该几何体的轴截面如图所示,设球O的半径为r.易得圆锥的高为52-32=4,故SSAB=1264=12(5+5+6)r,解得r=32,故V1=43r3=92,V2=13324=12,故V1V2=92112=38.4.B设ABC的边长为a,则SABC=12aasin 60=93,解得a=6(负值舍去).设ABC的外接圆半径为r,则2r=6sin60,得r=23,则球心到平面ABC的距离为42-(23)2=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6
6、,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13936=183,故选B.5.B易得AC=10.设ABC的内切圆的半径为r,则1268=12(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径为3,则半径R=32,此时球的体积V=43R3=92.故选B.解题反思要使球的体积取最大值,该球的半径应取到最大值,即该球与三棱柱内切,因此需要讨论底面三角形内切圆直径与三棱柱高的关系,从而确定出球半径的最大值.6.B设BCD的中心为O1,球O的半径为R,连接AO1,则O在AO1上.连接O1D,OD,O1E,OE,如图,则O1D=3sin 6023=3,AO
7、1=AD2-DO12=12-3=3.在RtOO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2.BD=3BE,DE=2.在DEO1中,O1E=3+4-232cos30=1,OE=O1E2+OO12=1+1=2.过点E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的面积最小,此时,截面圆的半径为22-(2)2=2,面积为2;当截面过球心时,截面圆的面积最大,最大面积为4,故选B.二、填空题7.答案6解析设三棱锥S-EFG外接球的半径为R.由题意可知,SGEG,SGGF,GEGF,所以将三棱锥S-EFG补成如图所示的长方体,它们有同一外接球,因为SG=2,GE=GF=1,所以外接球的直径2R=22+12+12
8、=6,即R=62.所以三棱锥S-EFG的外接球的表面积S=4R2=6.8.答案814解析设球O的半径为R,则43R3=36,故R=3.由题易知PA,AB,AD两两垂直,所以将四棱锥P-ABCD补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,且c=3,因为a2+b2+32=62,所以a2+b2=27,又a2+b22ab,所以ab272,当且仅当a=b=362时,等号成立.要使得四棱锥M-ABCD的体积最大,只需点M为平面ABCD的中心O与球心O所在的直线与球的交点(点M、O在球心O两侧),又OO=R2-a2+b222=9-274=32,所以四棱锥M-ABCD
9、体积的最大值为1327232+3=814.9.答案4003 cm2解析如图1,连接OE交AB于点I.图1设正方形的边长为x cm(x0),则OI=x2 cm,IE=12-x2 cm.因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍,所以4x212-x2=2x2,解得x=8.设E,F,G,H重合于点P,该四棱锥的外接球的球心为Q,如图2,图2易知OC=42 cm,PC=EA=82+42=45 cm,所以OP=PC2-OC2=43 cm.设外接球的半径为R cm,则R2=(43-R)2+(42)2,解得R=1033,所以外接球的表面积S=410332=4003(cm2).10.答案1解析如图1,设BCD的中心为O1,则其外接球球心O在AO1上,连接OD,O1D.图1O1D=23CD32=22,AO1=AD2-DO12=4,设外接球的半径为R,则R2=(AO1-R)2+DO12,解得R=3.设正四面体A-BCD内切球的半径为r1,根据等体积法可得13r112(26)2sin 604=1312(26)2sin 604,故r1=1,根据题意R=33r,rr1,所以r1.设OO1与外接球球面相交于点Q,如图所示,画出截面图,O1Q=R-OO1=22r,故r1.综上所述,r1,故r的最大值为1.图2
