1、第2课时数列的递推公式学习目标1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列an的前n项和Sn求数列an的通项公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式思考仅由数列an的关系式anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？答案不能知道了首项和递推公式，才能确定这个数列知识点二数列的前n项和Sn与an的关系1把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn，即Sna1a2an.2an1在数列an中，若an12an，nN*，则
2、a22a1.()2利用an12an，nN*可以确定数列an()3递推公式是表示数列的一种方法()4S2n表示数列an中所有偶数项的和. ()一、由递推公式求数列的指定项例1设数列an满足an写出这个数列的前5项解由题意可知a11，a212，a31，a41，a511.反思感悟由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区跟
3、踪训练1(1)已知数列an的首项a11，且满足an1an，则此数列的第3项是()A1 B. C. D.答案C解析a11，a2a11，a3a2.(2)已知数列an满足an11，且a12，则a2 020的值为()A. B1 C2 D1答案C解析由an11及a12，得a2，a31，a42，至此可发现数列an是周期为3的周期数列：2，1,2，1，.而2 02067331，故a2 020a12.二、由递推公式求通项公式例2在数列an中，a11，an1an，则an等于()A. B. C. D.答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a11，a2112，a32，a42，a52，又a11，由此可得数列的一
4、个通项公式为an.方法二(迭代法)a2a11，a3a2，anan1(n2)，则ana112(n2)又a11，所以an(nN*)方法三(累加法)an1an，a11，a2a11，a3a2，a4a3，anan1(n2)，以上各项相加得an11.所以an(n2)因为a11也适合上式，所以an(nN*)反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：an1an常数，或an1anf(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；an1pan(p为非零常数)，或an1f(n)an(f(n
5、)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；an1panq(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第类解决跟踪训练2(1)已知数列an满足a11，anan1(n2)，求an.解因为anan1(n2)，所以anan1.所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1()()()11.又a11也符合上式，所以an1，nN*.(2)已知数列an满足a11，ln anln an11(n2)，求an.解因为ln anln an11，所以ln1，即e(n2)所以ana1en1(n2)，又a11也符合上式，所以anen1，nN*.三、利用Sn与an的关系求通项公式例3设Sn为数列an的前n项和，Sn2n230
6、n.求a1及an.解因为Sn2n230n，所以当n1时，a1S121230128，当n2时，anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32.验证当n1时上式成立，所以an4n32，nN*.延伸探究将本例的条件“Sn2n230n”改为“Sn2n230n1”，其他条件不变，求an.解因为Sn2n230n1，所以当n1时，a1S1212301127，当n2时，anSnSn12n230n12(n1)230(n1)14n32.当n1时不符合上式所以an反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.(3)如果a1也满足当n2
7、时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；否则数列an的通项公式要分段表示为an跟踪训练3已知Sn是数列an的前n项和，根据条件求an.(1)Sn2n23n2；(2)Sn3n1.解(1)当n1时，a1S17，当n2时，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1，又a17不适合上式，所以an(2)当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，显然a12适合上式，所以an23n1(nN*)1已知在数列an中，a12，an1ann(nN*)，则a4的值为()A5 B6 C7 D8答案D解析因为a12，an1ann，所以a2
8、a11213，a3a22325，a4a33538.2已知数列an的前n项和Snn22n，则a2a18等于()A36 B35 C34 D33答案C解析a2S2S12222(1221)1，a18S18S17182218(172217)33.a2a1834.3已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nN*)，则a2 020的值为()A2 B1 C. D.答案B解析因为anan2an1(nN*)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5，由a41，a5，得a6，由a5，a6，得a71，由a6，a71，得a82，由此推理可得数列an是一个周期为6的周期
9、数列，所以a2 020a33664a41.4设Sn为数列an的前n项和，Snn2n，则an_.答案2n，nN*解析Snn2n，当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，验证当n1时上式成立an2n，nN*.5数列1,3,6,10,15，的递推公式可以是anan1_(nN*，n2)由a1055，则a12_.答案n78解析由已知，a2a12，a3a23，a4a34，所以递推公式可以写成anan1n.所以a12a1112a10111278.1知识清单：(1)数列的递推公式(2)数列的前n项和Sn与an的关系2方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法3常见误区：累加法
10、、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.1已知数列an满足an4an13(n2，nN*)，且a10，则此数列的第5项是()A15 B255 C16 D63答案B解析由递推公式，得a23，a315，a463，a5255.2数列，的第n项an与第n1项an1的关系是()Aan12anBan12anCan1anDan1an答案D3(多选)数列2,4,6,8,10，的递推公式是()Aanan12(n2，nN*)Ban2an1(n2，nN*)Ca12，anan12(n2，nN*)Da12，an1an2(nN*)答案CD解析A，B中没有说明某一项，无法递推4已知数列
11、an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项公式an等于()An21 Bn1C1nD3n答案D解析an1an1.当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(1)(n1)3n.当n1时，a12也符合上式故数列的通项公式an3n(nN*)5(多选)已知数列an的前n项和满足Sn2n11，下列说法正确的是()Aa13 Ban2n(n2)Can2nDan2n(n2)答案AD解析Sn2n11，当n1时，a1S121113；当n2时，anSnSn1(2n11)(2n1)2n.当n1时，不符合上式，故an6已知在数列an中，a12，an(n2，nN*)，则a2 020_.答案解析
12、a2，a32a1，a4a2，an的周期为2，a2 020a2.7已知数列an的前n项和为Snn2，nN*，则an_.答案2n1，nN*解析由anSnSn1(n2)得an12n，当n1时，a1S11也符合上式an2n1(nN*)8已知在数列an中，a1a2ann2(nN*)，则a9_.答案解析a1a2a882，a1a2a992，得，a9.9已知数列an满足an1ann2(nN*)，且a11.(1)求a2，a3，a4的值；(2)令bn4an68n，求数列bn的前4项解(1)因为an1ann2，且a11，所以a24，a38，a413.(2)b14a16814168164，b24a2682446821
13、20，b34a368348683172，b44a4684413684220.10已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an.解因为an1an，所以a2a1，a3a2，a4a3，anan1(n2)，以上各式累加得，ana111.所以an11，所以an(n2)，因为a11也符合上式，所以an(nN*)11已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a2 020等于()A3 B0 C. D3答案B解析由题意知a10，a2，a3，a40，a5，由此可知，an3an.所以数列an的周期为3，又2 02036731，所以a2 020a10.12下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每
14、日新增确诊病例变化曲线图若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列an，an的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是()A数列an是递增数列B数列Sn是递增数列C数列an的最大项是a11D数列Sn的最大项是S11答案C解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7a8，所以an不是递增数列，所以选项A错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S33S34，所以数列Sn不是递增数列，所以选项B错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列an的最大项是a11，所以选项C正确；数列Sn的最大项是最后项，所以
15、选项D错误13已知数列an满足a10，且an1an，则数列an的最大项是()Aa1Ba9Ca10D不存在答案A解析因为a10，且an1an，所以an0，所以1，所以an10，an1an0，(n1)an1nan0，(n2)，.又a11，ana1.又a11也适合上式，an，nN*.方法二(迭代法)同方法一，得，an1an，anan1an2an3a1a1.又a11，an.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得，(n1)an1nan，数列nan是常数列，nan1a11，an(nN*)15在一个数列中，如果对任意nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知
16、数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.16已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a44，求m所有可能的取值解若a3为奇数，则3a314，a31，若a2为奇数，则3a211，a20(舍去)，若a2为偶数，则1，a22.若a1为奇数，则3a112，a1(舍去)，若a1为偶数，2，a14；若a3为偶数，则4，a38，若a2为奇数，则3a218，a2(舍去)若a2为偶数，则8，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15.若a1为偶数，则16，a132.故m所有可能的取值为4,5,32.
