1、考点3 直线和抛物线的综合题（2018浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2y241（x0）上的动点，求PAB面积的取值范围【解析】（1）设P（x0，y0），A14y12,y1，B14y22,y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y+y022414y2+x02，即y22y0y8x0y020的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴（2）由（1）可知y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y02,所以|PM|18（y12y
2、22）x034y023x0，|y1y2|22y02-4x0.所以PAB的面积SPAB12|PM|y1y2|324(y024x0)32.因为x02y0241（1x00），所以y024x04x024x044,5，所以PAB面积的取值范围是62,15104.【答案】见解析（2018全国卷（理）已知点M（1,1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.【解析】方法一设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1,y22=4x2,y12y224（x1x2），ky1-y2x1-x24y1+y2.设AB的中点为M（x0，y0），抛物线的焦点为F，分别
3、过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|12|AB|12（|AF|BF|）12（|AA|BB|）M（x0，y0）为AB中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.方法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F（1,0），设直线方程为yk（x1），直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2（2k24）xk20.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x21，x1x22k2+4k2.由M（1,1），得AM（1x1,1y1），BM（1x2,1y2）由AMB90，得AMBM0，（x11）（x21）（y11）（y21）0，x1x2（x1x2）1y1y2（y1y2）10.又y1y2k（x
4、11）k（x21）k2x1x2（x1x2）1，y1y2k（x1x22），12k2+4k21k21-2k2+4k2+1k2k2+4k2-210，整理得4k24k10，解得k2.【答案】2（2018全国卷（理）设抛物线C：y24x的焦点为F，过点（2,0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN等于（）A5 B6 C7 D8【解析】由题意知直线MN的方程为y23（x2），联立直线与抛物线的方程，得y=23x+2,y2=4x,解得x=1,y=2或x=4,y=4.不妨设点M的坐标为（1,2），点N的坐标为（4,4）又抛物线的焦点为F（1,0），FM（0,2），FN（3,4）FMFN03248.故选D【答案】D
