1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第五节 直线与圆的位置关系 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理解直线与圆相离的概念，了解直线与圆相离的判断方法.2.理解直线与圆相切的概念，掌握直线与圆相切的判断方法.3.理解直线与圆相交的概念，了解直线与圆相交的判断方法.4.了解圆与圆位置关系的判断方法.考试热点1.通过判别式求参数的取值范围.2.求参数的值、计算弦长等.3.利用代数法及几何法判断两圆的位置关系.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyri
2、ght 2004-2009 版权所有 盗版必究 1直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有三种：(2)直线l：AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判定方法有两种：相离、相交和相切Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 几何方法 直线l与圆M|MN|其中|MN|是圆心到直线的距离Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 代数方法 由 消去y(或消去x)，可得形如x2pxq0的方程，设p24q，则直线l与MCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)计算直线被圆截得的弦长的常用方法：几何方法 运用弦心距(即圆心
3、到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算 代数方法 运用韦达定理及弦长公式|AB|.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2圆与圆的位置关系的判定 C1与C2相离；C1与C2相切；C1与C2相交；C1与C2内切；C1与C2内含|C1C2|r1r2|C1C2|r1r2|r1r2|C1C2|r1r2|C1C2|r1r2|C1C2|r1r2|Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1直线xy40被圆x2y24x4y60截得的弦长等于()解析：圆心(2,2)在直线上，弦长即直径 答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知直
4、线mx3y40与圆(x2)2y25相交于两点A、B，若|AB|2，则m的值是 ()答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3过点(4，8)作圆(x7)2(y8)29的切线，则切线的方程为_ 解析：(4，8)在圆(x7)2(y8)29上，又(4，8)与圆心(7，8)连线的斜率为0，切线斜率不存在 切线方程为x4.答案：x40Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4过点(2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程是_ 解析：最长弦即为直径，又x2y22x4y0的圆心坐标为(1，2)，所求直线过点(2,1)和圆心(1，2)，方
5、程为3xy50.答案：3xy50Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)证明：l 的方程(xy4)m(2xy7)0.mR，2xy70，xy40，得x3，y1，即 l 恒过定点 A(3,1)圆心 C(1,2)，|AC|55(半径)，点 A 在圆 C 内从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点(2)解：弦长最小时，lAC，由 kAC12，l 的方
6、程为 2xy50.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 直线与圆的相交问题 例1 已知圆C：x2y26x8y210和直线kxy4k30.(1)证明不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)证明 由 kxy4k30 得(x4)ky30.x40，y30.直线 kxy4k30 过定点 P(4,3)由 x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)22r，即|m|5 5，所以
7、m5 或 m5或 m5 时，直线与圆无公共点Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)如图 2，由平面几何垂径定理知 r2d212，即 5m25 1，得 m2 5，所以当 m2 5时，直线被圆截得的弦长为 2.(3)如图 2，由于交点处两条半径互相垂直，所以弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，所以 d 22 r，即|m|522 5，解得 m5 22，故当 m5 22 时，直线与圆的两交点处的两条半径互相垂直图 2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 直线与圆相切问题 例2 图3 自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线
8、与圆x2y24x4y70相切如图3所示，求光线l所在的直线方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法一 设入射光线 l 所在直线方程为 y3k(x3)因为点 A 关于 x 轴对称点为 A(3，3)，所以反射光线所在直线经过点 A.又光线的入射角等于反射角反射光线所在直线的方程为 kxy3k30，反射光线与圆 x2y24x4y70 相切，|2k23k3|k211 解之得 k34或 k43.入射光线 l 所在直线方程为：y334(x3)或 y343(x3)，即 3x4y30 或 4x3y30.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法二 圆 C：x2
9、y24x4y70 关于 x 轴的对称圆 C的方程为 x2y24x4y70.因入射光线经 x 轴反射后与圆 C 相切，则入射光线所在直线与圆 C相切设：l：y3k(x3)即 kxy3k30.圆 C的圆心(2，2)到 l 距离与半径相等，|2k23k3|k211，k43或 k34，入射光线所在直线方程为：3x4y30 或 4x3y30.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知圆C：(x2)2y23，直线l与圆C相切并且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)设 l 的方程为xaya1，即 xya0.由|2a|2
10、3，解得 a2 6.则直线 l 的方程为xy2 60，或 xy2 60.综上所知所求直线有四条方程分别为3xy0，3xy0，xy2 60，或 xy2 60.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 圆与圆的位置关系问题 例3 已知两圆x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.求：(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d，判断d与Rr，Rr的关系，利用圆的几何性质分别解决第(2)、(3)问Copyright 2004-2009 版
11、权所有 盗版必究 解 两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m.圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 11和 61m.(1)当两圆外切时，(51)2(63)2 11 61m.解得 m2510 11.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当两圆内切时，因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离5，故只有 61m 115.解得 m2510 11.因为 kMN635134，所以两圆公切线的斜率是43.设切线方程为 y43xb，则有|4313b|(43)21 11，解得 b133 53 11.Copyright 2004-2009 版权
12、所有 盗版必究 容易验证，当 b133 53 11时，直线与后一圆相交，故所求公切线方程为：y43x133 53 11，即 4x3y5 11130.(3)两圆的公共弦所在直线方程为：(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0.即 4x3y230由式和圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2(11)2(|43323|4232)22 7.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升(1)两圆的公切线条数为：相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线(2)判断两圆的位置关系可根据圆心距与圆的半径的关系式
13、去求解求两圆的公切线时，要注意两圆的位置关系，可结合图形判断求解Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 两个圆C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有 ()A1条B2条 C3条D4条Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由C1：(x1)2(y1)222 知圆心 C1(1，1)，半径 r12.由C2：(x2)2(y1)222 知圆心 C2(2,1)，半径 r22.由于|C1C2|2(1)21(1)2 13r1r2，两圆相交因此公切线有且仅有 2 条 答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1解决直线与圆或圆与圆的位置关系问题，一般有两种方法，即几何法和代数法，从运算的合理、简明的要求选择，通常采用几何法，但代数法具有一般性 2数形结合法(如几何法)是解决直线与圆的位置关系的重要方法 3OAOB(O为原点)或 0可转化为x1x2y1y20，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系中是常用的Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
