1、1.3.2空间向量运算的坐标表示学 习 任 务核 心 素 养1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养.2.借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养.平面向量运算的坐标表示：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)(R)，aba1b1a2b2.你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向
2、量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？知识点1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b31.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？提示空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的1.已知空间向量m(1，3,5)，n(2,2，4)，则mn_，3mn_，(2m)(3n)_.(1，1,1)(5，11,19)168mn(1，3,5)(2,2，4)(1，1
3、,1)；3mn3(1，3,5)(2,2，4)(3，9,15)(2,2，4)(5，11,19)；(2m)(3n)(2，6,10)(6，6,12)26(6)(6)1012168.知识点2空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b2.若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab一定有成立吗？提示当b1，b2，b3均不为0时，成立2.已知a(1,0,1)，b(2，2,0)，则a，b_.60因为ab120(2)10
4、2，|a|，|b|2，所以cosa，b，因此a，b60.知识点3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.3.已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？提示OA|.3.若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则_，|_.(1，1，1)(1，1，1)，|. 类型1空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)2b2，则x_.(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,
5、3)求点P的坐标，使()(1)2ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2.(2)解(2,6，3)，(4,3,1)，(6,3，4)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)，()，x5，y，z0，则点P的坐标为.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2，(ab)(ab)(ab)2等(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)(b)，既可以利用运算
6、律把它化成2(ab)，也可以求出2a，b后，再求数量积；计算(ab)(ab)，既可以求出ab，ab后，求数量积，也可以把(ab)(ab)写成a2b2后计算跟进训练1已知ab(2，2)，ab(0，0)，则a_，b_，ab_.(1，)(1,0，)4ab(2，2)，ab(0，0)，2a(2,2，2)，2b(2,0,2)，a(1，)，b(1,0，)，ab1104. 类型2利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2】(1)已知a(3,21,1)，b(1,0,2)若ab，则_；若ab，则_.(2)(对接教材P20例题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1
7、C1的中点求证：AB1GE，AB1EH；A1G平面EFD(1)由ab，得ab3(1)20，解得.由ab，得，且210，解得，所以.(2)证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)由中点坐标公式，得E，F，G，H.(1,0,1)，.因为2，110，所以，即AB1GE，AB1EH.，.因为00，00，所以，所以A1GDF，A1GDE，因为DFDED，所以A1G平面EFD1判断空间向量垂直或平行的步
8、骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据x1x2y1y2z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)或(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行2由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可跟进训练2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)设a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.解(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)(R)|c|3|3，解得1.c(2，
9、1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k. 类型3利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题【例3】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，应用空间向量的方法求解下列问题：(1)求EF与C1G所成角的余弦值；(2)求FH的长解建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)
10、，G，H.(1)，(0,1,1)，|.又0(1)，|，cos，.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.(2)F，H，FH|.用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？提示(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离.跟进训练3在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，BCA90，AA12，Q为A1A的中点(1)求的长；(2)求cos，cos，并比较，的大小解建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Q(1,0,1)，B1(
11、0,1,2)，A1(1,0,2)(1，1,1)，(0,1,2)，(1，1,2)(1)|.(2)0121，|，|，cos，.0143，|，|，cos，.0，1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b()A(2，4,2)B(2,4，2)C(2,0，2)D(2,1，3)Bb(ab)a(1,2，1)(1，2,1)(2,4，2)，故选B2已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|，且0，则等于()A5B4C3D2Cab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab|，且0，解得3.3已知M(5，1,2)，A(4,2，1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为()A(1,3，3)B
12、(9,1,1)C(1，3,3)D(9，1，1)B，(9,1,1)4已知a(1，x,3)，b(2,4，y)，若ab，则xy_.4由ab得ab，所以解得所以xy4.5已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_(2，1,3)，(1,3，2)，|，|，(2)(1)(1)33(2)7，cos，又，0，.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？提示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则当b0时 ，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cosa，b.(2)你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？提示根据条件建立适当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离
