1、课时作业26正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(D)A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为(A)A50(1) m B100(1) mC50 m D.100 m解析：如图所示，在ABC中，BAC30，AC
2、B753045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin7510050(1)(m)3为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(D)A. km2B. km2C. km2D. km2解析：连接AC，根据余弦定理可得AC km，故ABC为直角三角形且ACB90，BAC30，故ADC为等腰三角形，设ADDCx km，根据余弦定理得x2x2x23，即x23(2)，所以所求的面积为13(2)(km2)4在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且A60，若SABC且2sinB3sinC，则ABC的周长等于(A)A5 B12C10
3、 D52解析：在ABC中，A60.2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，再由SABCbcsinA，可得bc6，b3，c2.由余弦定理可得a2b2c22bccosA7，a，故ABC的周长为abc5，故选A.5如图，在ABC中，BDsinBCDsinC，BD2DC2，AD2，则ABC的面积为(B)A. B.C3 D.3解析：过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.由BDsinBCDsinC得DEDF，则AD为BAC的平分线，2，又cosADBcosADC0，即，解得AC2.则AB4.在ABC中，cosBAC，sinBAC，SABCABACsinBAC.6(多选题)ABC中，c，a，
4、b，在下列命题中，是真命题的有(BCD)A若ab0，则ABC为锐角三角形B若ab0.则ABC为直角三角形C若abcb，则ABC为等腰三角形D若(acb)(abc)0，则ABC为直角三角形解析：如图所示，ABC中，c，a，b.若ab0，则BCA是钝角，ABC是钝角三角形，A错误；若ab0，则，ABC为直角三角形，B正确；若abcb，b(ac)0，()0，()0，取AC中点D，则0，所以BABC，即ABC为等腰三角形，C正确；若(acb)(abc)0，则a2(cb)2，即b2c2a22bc，即cosA，由余弦定理可得：cosAcosA，即cosA0，即A，即ABC为直角三角形，即D正确，综合可得真
5、命题的有BCD，故选BCD.二、填空题7如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于15.解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.8.如图所示，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足，若DE2，则cosA.解析：ADDB，AABD，BDC2A.设ADBDx，在BCD中，可得.在AED中，可得.联立可得，解得cosA.9在ABC中，已知BC2，2，则ABC面积的最大值是.
6、解析：由，得2()2，设|c，|b，则b2c28，又因为bccosA2，所以cosA，所以sin2A1，设ABC的面积为S，则S2(bc)2sin2A(b2c24)，因为bc4，所以S23(当且仅当bc2取“”号)，所以S.所以ABC面积的最大值是.10(多填题)在ABC中，AD是BC边上的中线，ABD.若ABBD，则CAD.若AC2AD2，则ABC的面积为.解析：设BDm，则ABm，BC2m，根据余弦定理，AD2AB2BD22ABBDcosABDm2，AC2AB2BC22ABBCcosABDm2，ADDCACm，即ACD是正三角形，CAD.记ABC的三内角BAC，ABC，ACB所对的三条边分
7、别为a，b，c，则BDa，由余弦定理可得，AD2AB2BD22ABBDcosABD，1c2(a)2ac，即44c2a22ac，又AC2AB2BC22ABBCcosABC，4c2a2ac，于是，4c2a22acc2a2ac，ac，代入c2a2ac4可得c2，a2，SABCacsinABC.三、解答题11在ABC中，AB6，AC4.(1)若sinB，求ABC的面积；(2)若2，AD3，求BC的长解：(1)由正弦定理得，所以sinC1，因为0C，所以C，所以BC2，所以SABC244.(2)设CDx，则BD2x，因为ADCADB，所以cosADCcosADB，所以，解得x，所以BC3DC3x.12A
8、BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(cacosB)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC面积的取值范围解：(1)由2(cacosB)b及正弦定理得2(sinCsinAcosB)sinB，所以2sin(AB)2sinAcosBsinB，即2cosAsinBsinB，因为sinB0，所以cosA，又0A，所以A.(2)因为a2，所以正弦定理得b4sinB，c4sinC，所以SABCbcsinAbc，所以SABC4sinBsinC，因为C(AB)B，所以sinCsin，所以SABC4sinBsin4sinB，即SABC2sinBcosB2sin2Bsin2Bcos2B2sin.因
9、为0B，所以2B，所以sin1，所以0SABC2.即ABC面积的取值范围为(0,213线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点利用上述结论，可以求出cos36(B)A. B.C. D.解析：设AB2，ADx，又ABAC，所以CD2x.由黄金分割点的定义可得AD2ACCD，即x22(2x)，解得AD1.在ABD中，由余弦定理得cos36.故选B.14(多填题)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m(bc，ab)，n(sinC，sinAsinB
10、)，且mn，则A；若ABC的面积为，则ABC的周长的最小值为6.解析：由题知mn，所以(bc)sinC(ab)(sinAsinB)0，所以(bc)c(ab)(ab)0，整理得b2c2a2bc，所以cosA，又0A，所以A.由题知ABC的面积SbcsinA，所以bc4，又b2c2bca2，所以a2b2c2bc2bcbcbc4，即a2，又bc24，所以，由，知abc246，abc2时取等号15平面四边形ABCD中，ABBC，A60，AB3，AD2.(1)求sinABD；(2)若cosBDC，求BCD的面积解：(1)在ABD中，A60，AB3，AD2，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosA9467，所以BD，由正弦定理，得，所以sinABD.(2)因为ABBC，所以ABC90，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC.因为cosBDC，所以sinBDC.所以sinCsin(BDCDBC)sin(BDCDBC)sinBDCcosDBCcosBDCsinDBC.所以sinDBCsinC，所以DBCC，所以DCBD，所以SBCDDCBDsinBDC2.
