1、第十二章 全等三角形 第三节 角的平分线的性质 一、单选题（共 10 小题）1（2019湖南中考真题）如图，在 ABC中，90C，8AC，13DCAD，BD 平分ABC，则点 D 到 AB 的距离等于()A4 B3 C2 D1【答案】C【详解】如图，过点 D 作DEAB于 E，AC8，1DCAD3，1CD821 3，C90，BD 平分ABC，DECD2，即点 D 到 AB 的距离为 2，故选 C【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.2（2019成都市武侯区西蜀实验学校初一期末）如图，在 ABC中，90C,10AB,AD 是 ABC的一条角平分线
2、.若3CD，则 ABD的面积为()A3 B10 C12 D15【答案】D【解析】要求ABD 的面积，现有 AB=10 可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作 DEAB 于 E根据角平分线的性质求得 DE 的长，即可求解【详解】解：如图，作 DEAB 于 E，AD 平分BAC，DEAB，DCAC，DE=CD=3 ABD 的面积为 12310=15 故选：D【点睛】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握是解题的关键.3如图，在ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB，交 BC 于点 D，DEAB 于点 E，且 AB10，则EDB 的周长是（）A4 B6 C8 D10【答案】D【解析】先
3、证出 RtACDRtAED，推出 AE=AC，DBE 的周长=DE+EB+DE=AB，即可求解【详解】解：AD 是BAC 的平分线，DEAB，C=90，C=AED=90，CD=DE，在 RtACD 和 RtAED 中 ADADCDDE RtACDRtAED，AE=AC，DBE 的周长=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10，故选：D【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出 AE=AC，CD=DE 是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等 4如图，OE 是AOB的平分线，CDOB,交OA 于点C,交OE 于点
4、 D。若55ACD,则CDO的度数是（）A25 B27.5 C22.5 D55【答案】B【解析】由CDOB,可求AOB=55,由OE 是AOB的平分线，可求BOD=27.5,然后根据两直线平行内错角相等可得CDO=27.5.【详解】CDOB,AOB=55ACD,OE 是AOB的平分线，BOD=12AOB=27.5,CDO=27.5.故选 B.【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了角平分线的定义.5如图，直线 AB、CD 相交于点G,EGCD,GF 平分AGD若BG
5、E=28，则FGD的度数是（）A63 B62 C56 D59【答案】D【解析】首先根据EGCD，得到DGE=90，然后求出BGD 的度数，根据平角定义求得AGD 的度数，最后根据角平分线定义即可解答.【详解】EGCD，DGE=90，BGE=28，BGD=62,AGD=118.GF 平分AGD,FGD=12AGD=59.故选 D.【点睛】本题综合考查了直角，平角的定义，角平分线的定义以及角的运算，熟练掌握相关定义是解答此类题目的基础.根据题意，求得BGD 的度数是解题的关键.6如图，AD 是EAC 的平分线，/ADBC，B=30，则C 为()A30 B60 C80 D120【答案】A【解析】由
6、AD/BC，B=30利用平行线的性质即可得出EAD 的度数，再根据角平分线的定义即可求出EAC 的度数，得出EAC=B+C，代入数据即可得出结【详解】解：AD/BC，B=30，EAD=B=30.又AD 是EAC 的平分线，EAC=2EAD=60.EAC=B+C，C=EAC-B=30.故选：A.【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是求出EAC=60.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键.7如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OD 平分AOE，BOC=50，则EOB=（）A50 B60 C70 D80【答案】D【解析】由对顶
7、角的性质求出AOD，根据角平分线的性质得到AOE，然后根据邻补角的性质求出EOB.【详解】解：BOC=50，AOD=50，AOE=100，EOB=180-100=80，故选 D.【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义以及角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键 8（2018广东省湛江市第二十三中学初一期末）已知射线 OC 在AOB 内部，下列说法不能确定射线 OC是AOB 的平分线的是()AAOC+BOCAOB BAOC 12AOB CAOB2BOC DAOCBOC【答案】A【解析】根据角平分线的定义（从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线）
8、即可求解【详解】OC 在AOB的时部时都有+AOCBOCAOB，但不能说明 OC 是AOB的平分线，故选项 A 错误；当12AOCAOB时，OC 在AOB的内部时，OC 是AOB的平分线，故选项 B 正确；当=2AOBBOC时，OC 在AOB的内部时，OC 是AOB的平分线，故选项 C 正确；当AOCBOC 时，OC 在AOB的内部时，OC 是AOB的平分线，故选项 D 正确；故答案选 A【点睛】本题主要考查角平分线的定义，正确理解角平分线的定义是解题的关键 9到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点【答
9、案】C【解析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点【详解】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点 故选：C【点睛】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为 D 10（2018湖北省十堰市东风教育分局第四中学初一期末）如图12，34，AOF 12AOB90，下列说法正确的是（）A射线 OC 是DOF 的平分线 B4 是AOC 的余角 C2 的余角是EOF D3 的补角是BOD【答案】B【解析】根
10、据角平分线的定义和余角的定义即可得到结论【详解】AOF12AOB=90，AOC+3=90 3=4，AOC+4=90，4 是AOC 的余角 故选 B【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键 二、填空题（共 5 小题）11（2019湖北中考真题）如图，直线/ABCD，直线 EC 分别与,AB CD 相交于点 A、点C，AD 平分BAC，已知80ACD，则DAC的度数为_ 【答案】50 【解析】依据平行线的性质，即可得到BAC 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到DAC 的度数【详解】解：/,80ABCDACD，100BAC，又AD 平分BAC，1502DACBAC
11、，故答案为：50 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义解题关键在于，两直线平行，同旁内角互补 12（2018四川中考真题）如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，B=70，FAE=19，则C=_度 【答案】24【解析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和 180 度求角.【详解】DE 是 AC 的垂直平分线,EA=EC，EAC=C,FAC=FAE+EAC=19+EAC，AF 平分BAC，FAB=FAC.在ABC 中,B+C+BAC=180所以 70+C+2FAC=180，70+EAC+2(19+EAC)=180
12、 ，C=EAC=24，故本题正确答案为 24.【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于 180 度的应用、角的概念及其计算.13（2019乐清育英学校初中分校初一期中）如图，CD 平分ACB，DEBC，AED=80，则EDC 的度数为_ 【答案】40.【解析】根据平行线的性质求出ACB，根据角平分线定义求出BCD，再根据平行线的性质即可求解.【详解】DEBC，AED=80，ACB=AED=80，CD 平分ACB，BCD=12ACB=40，DEBC，EDC=BCD=40 故答案为：40【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：两直线平行，同
13、位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中 14（2018北京师大附中初二期中）如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，BD 平分CBA 交 AC 于点 D，DEAB 于 E若ADE 的周长为 8cm，则 AB_ cm 【答案】8【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 CD=DE，再利用“HL”证明 RtBCD 和 RtBED 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BC=BE，然后求出ADE 的周长=AB【详解】C=90，BD 平分CBA，DEAB，CD=DE，在 RtBCD 和 RtBED 中，=RtBCDRtBED(HL)，BC=BE，ADE
14、的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，ADE 的周长为 8cm，AB=8cm.故答案为：8cm.【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握这两个知识点是本题解题的关键.15（2019哈尔滨风华中学初一期中）如图，CE 平分ACD，A=40，B=30，D=104，则BEC=_.【答案】57；【解析】根据四边形外角的性质和角平分线的性质，再结合题意，即可得到答案.【详解】根据四边形外角的性质可得D=A+B+DCA，D=BEC+B+ECD，则DCA=D-（A+B）=34，因为 CE 平分ACD，所以ECD=12 3471 ，所以BEC=
15、D-（B+ECD）=57.故答案为 57.【点睛】本题考查四边形外角的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握四边形外角的性质和角平分线的性质.三、解答题（共 2 小题）16（2018河北中考模拟）已知，如图，BD 是ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PMAD，PNCD，垂足分别是 M、N试说明：PM=PN 【答案】证明见解析.【解析】试题分析：由题意可证ABDCBD（SAS），即可得 BD 是ADC 的平分线，由角平分线的性质可得 PM=PN.试题解析：在ABD 和CBD 中，AB=BC（已知），ABD=CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），ABDCBD（SAS），
16、ADB=CDB（全等三角形的对应角相等）；即 BD 是ADC 的平分线 又PMAD，PNCD，PM=PN（角平分线的性质）考点：三角形全等的判定和性质，角平分线的性质.17（2019四川省巴中中学初二期中）如图，四边形 ABCD 中，DC90，点 E 在 CD 上，AE 平分DAB，BE 平分CBA，若 AD4，AB6，求 CB 的长。【答案】2.【解析】过点 E 作 EFAB 于点 F，根据角平分线的性质可知 DE=EF，EF=CE，根据 AAS 定理可得ADEAFE，故 AD=AF=4，求出 BF 的长，同理可得BCEBFE，故可得出 BC=BF，由此得出结论【详解】解：过点 E 作 EFAB 于点 F，AE 平分DAB，BE 平分CBA，DAE=FAE，CBE=FBE，在ADE 与AEF 中，DAFEDAEFAEAEAE ，ADEAFE（AAS），ADAF4，BFABAF642 同理可得BCEBFE，BCBF2【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键
