1、星期一(三角)2021年_月_日【题目1】 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，bsin asin B，cos 2A3cos(BC)1这三个条件中任选一个解答下列问题：(1)求A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解选择.(1)由正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得cos A.0A，A.(2)由Sbcsin A5，b5，A，得c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A21.由正弦定理，得2R(R为ABC的
2、外接圆的半径)，(2R)228，sin Bsin C.选择.(1)由正弦定理，得sin Bsin sin Asin B.sin B0，ABC，sinsin A，即cos 2sin cos .又cos 0，sin .0A，即A.(2)由Sbcsin A5，b5，A，得c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A21.由正弦定理，得2R(R为ABC的外接圆的半径)，(2R)228，sin Bsin C.选择.(1)由cos 2A3cos(BC)1，ABC，得2cos2A3cos A20.解得cos A或cos A2(舍去).0A，A.(2)由Sbcsin A5，b5，A，得c4.由余弦定理，得
3、a2b2c22bccos A21.由正弦定理，得2R(R为ABC的外接圆的半径)，(2R)228，sin Bsin C.星期二(数列)2021年_月_日【题目2】 已知数列an的前n项和Sn2n12，记bnanSn(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解(1)Sn2n12.当n1时，a1S121122.当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1221适合上式，故an2n(nN*).(2)由(1)知bnanSn2n(2n12)24n2n1.Tnb1b2b3bn2(4424n)(22232n1)24n12n2.星期三(概率与统计)2021年_月_日【题目3】
4、第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)；(2)若采用分层抽样的方法从成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率.解(1)平均成绩0.02450.16550.22650.30750.20850.109573.00.(2)由题意知，
5、从成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生中分别选取了3人，2人，1人.6人平均分成3组分配到3个社区，共有CC90(种)方法.成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有AA36(种)，所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率p.星期四(立体几何)2021年_月_日【题目4】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，DAB60.(1)证明：ADPB；(2)若PB，ABPA2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.(1)证明取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图1，图1底面ABCD是菱形，且DAB60，ABD是等边三角形，BOAD.又PAPD，即PAD
6、是等腰三角形，POAD.又POBOO，PO，BO平面PBO，AD平面PBO，又PB平面PBO，ADPB.(2)解ABPA2，由(1)知PAD，ABD均是边长为2的正三角形，则PO，BO，又PB，PO2BO2PB2，即POBO，又由(1)知，BOAD，POAD，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系.图2则D(1，0，0)，P(0，0，)，C(2，0)，B(0，0)，(0，)，(1，0，)，(1，0).设n(x，y，z)是平面PCD的法向量，则取y1，解得，即n(，1，1)为平面PCD的一个法向量.设直线PB与平面PDC所成的角为，则sin |c
7、os，n|，直线PB与平面PDC所成角的正弦值为.星期五(解析几何)2021年_月_日【题目5】 已知定点A(3，0)，B(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点T(1，0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(x0，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设动点M(x，y)，则直线MA的斜率kMA(x3)，直线MB的斜率kMB(x3).因为kMAkMB，所以，化简得y21.又x3，所以曲线C的方程为y21(x3).(2)由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l
8、过点T(1，0)，可设直线l的方程为xmy1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去x得(m29)y22my80.则又kSP，kSQ，kSPkSQ，当x03时，mR，kSPkSQ；当x03时，mR，kSPkSQ.所以存在定点S，其坐标为(3，0)或(3，0)使得直线SP与SQ斜率之积为定值.星期六(函数与导数)2021年_月_日【题目6】 已知f(x)ex，g(x)x1(e为自然对数的底数).(1)求证：f(x)g(x)恒成立；(2)设m是正整数，对任意正整数n，m，求m的最小值.(1)证明令h(x)f(x)g(x)exx1，则h(x)ex1，当x(，0)时，h(x)0，当x(0，)时，h(x)0，故h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)0，即h(x)0恒成立，所以f(x)g(x)恒成立.(2)解由(1)可知11e，由不等式的性质得eeeeeeee2.所以m的最小值为2(mN*).
