1、考点规范练52直线与圆锥曲线基础巩固1.双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.54D.5答案:D解析:不妨设x2a2-y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,y=x2+1,得ax2-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D.2.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.34,+B.34,+C.(2,+)D.(-,-1)
2、答案:A解析:设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,=4+8m0,m-12.又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m0,得b34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13答案:A解析:以线段A1A2为直
3、径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.4.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为()A.y=32xB.y=22xC.y=23xD.y=2x答案:B解析:由题意得|AB|=2b2a,SAOB=83,122b2a1=83,b2a=83.a2+b2=1,解得a=13,b=223,双曲线的渐近
4、线方程为y=bax=22x.故选B.5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105答案:C解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2,当t=0时,|AB|max=4105.6.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互
5、相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案:A解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12
6、k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为不妨令0,2.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得|AF|cos+|GF|=|AK1|,|AK1|=|AF|,|GF|=2,所以|AF|cos+2=|AF|,即|AF|=21-cos.同理可得|BF|=21+cos,所以|AB|=41-cos2=4sin2.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为2+,则|DE|=4sin22+=4cos2,所以|AB|+|DE|=4sin2+4cos2=4sin2cos2=414sin22=16sin2216,当=
7、4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.答案:2解析:如图,由F1A=AB,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由F1BF2B=0,得F1BF2B.则OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60.则ba=tan60=3.所以e=ca=1+ba2=1+3=2.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(
8、ab0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.解:(1)由题意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22.故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),由y=x+m,x28+y24=1消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则=96-8m20,所以-23m0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON|;(2)除H以
9、外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解:(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t.又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.所以N为OH的中点,即|OH|ON|=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.能力提升10.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,
10、与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:D解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由CMAB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以y024x0=12,又x
11、1x2,所以y1+y20,即0y0212.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4r216,即2r0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:32解析:如图,双曲线的渐近线为y=bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2为OAB的垂心,kAFkOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.13.(2021全国,理20)抛物线C的
12、顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交抛物线C于P,Q两点,且OPOQ.已知点M(2,0),且M与直线l相切.(1)求抛物线C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是抛物线C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与M相切.判断直线A2A3与M的位置关系,并说明理由.解:(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p0,当x=1时,y2=2p,y=2p.因为OPOQ,所以2p=1,即2p=1,故抛物线的标准方程为y2=x.M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)由题意可知直线A1A2,A1A3,A2A3均不平行于x轴.设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),直线A
13、1A2的方程为x-x1=m1(y-y1),直线A1A3的方程为x-x1=m2(y-y1),m1m2.因为点A1在抛物线C上,所以x1=y12,所以直线A1A2的方程可化为x-m1y+m1y1-y12=0,直线A1A3的方程可化为x-m2y+m2y1-y12=0.因为直线A1A2,A1A3与M相切,M的圆心坐标为(2,0),半径r=1,所以|2+m1y1-y12|1+m12=1,|2+m2y1-y12|1+m22=1,所以m1,m2为方程|2+my1-y12|1+m2=1的根,即m1,m2为方程m2(y12-1)+m(4y1-2y13)+y14-4y12+3=0的根.又m1m2,所以y12-10
14、,所以m1+m2=2y13-4y1y12-1,m1m2=y14-4y12+3y12-1.由x-m1y+m1y1-y12=0,y2=x,消去x,得y2-m1y+m1y1-y12=0,所以y1+y2=m1,即y2=m1-y1.同理,y3=m2-y1.设直线A2A3的方程为x=ky+b,由x=ky+b,y2=x,得y2-ky-b=0,所以y2+y3=k,y2y3=-b,所以k=y2+y3=m1+m2-2y1=-2y1y12-1,-b=y2y3=(m1-y1)(m2-y1)=m1m2-y1(m1+m2)+y12=3-y12y12-1.所以M的圆心到直线A2A3的距离d=|2-b|1+k2=2+3-y1
15、2y12-11+-2y1y12-12=y12+1|y12-1|y12+1|y12-1|=1=r,故直线A2A3与M相切.高考预测14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(3,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知a=2,c=3,所以b=1.所以椭圆的方程
16、为x24+y2=1.(2)是定值,定值为-14.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2),设直线AB的方程为x=my-2m-2,联立x2+4y2=4,x=my-2m-2(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=4m2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4.因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t).又Q在直线AA2上,所以t-t-2=y1x1-2t=-2y1x1+y1-2,所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2)=-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2)=-y1y2(m2+2m)y1y2-2(y1+y2)+4=-14.
