1、重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(一)1、已知向量=3i-4j，=6i-3j，=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值。2、已知数列an的前n项之和为Sn，且Sn=a(an-1)(a0，a1，nNn)(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2b2，求a的取值范围。ABDCFP3、如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点。(1)证明：平面PBE平面PAC
2、；(2)如何在BC上找一点F，使AD/平面PEF？并说明理由；(3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F，求三棱锥B-PEF的体积。4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0t0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去。(1)若存款的利率为x，x(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已
3、知函数f(x)=a0+a1=x+a2x2+a3x3+anxn(nNn)，且y=f(x)的图象经过点(1，n2)，数列an(nN+)为等差数列。(1)求数列an的通项公式；(2)当n为奇函数时，设g(x)=,是否存在自然数m和M，使不等式mg()M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由。重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(四)1、已知函数（1）若xR，求f（x）的单调递增区间；（2）若x0，时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值2、设两个向量、，满足|2，|1，、的夹角为60，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围3、如图，平面VAD平面ABCD，V
4、AD是等边三角形，ABCD是矩形，ABAD1，F是AB的中点（1）求VC与平面ABCD所成的角；（2）求二面角V-FC-B的度数；（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离4、已知数列中，（n2，），数列，满足（1）求证数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记，求重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(一)答案1、当m时，A、B、C三点能构成三角形； 当m=时，三角形ABC为直角三角形，且A=90。2、(1) (2)3、(1) PA底面ABC，PABE又ABC是正三角形，且E为AC的中点，BECA又PA，BE平面PACBE平面PBE，平面PB
5、E平面PAC。(2)取CD的中点F，则点F即为所求。E、F分别为CA、CD的中点，EF/AD又EF平面PEF，AD平面PEF，AD/平面PEF。(3)4、 (1)函数y=f(t)的定义域为0，+)；值域为y|y=2n，nN*123456x12345678y (2) (3)y=重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(二)答案1、f(sinx)有最大值。2、(1)an=4n-1(1nk) (2)抽取的是第20项。3、4、解：(1) (2) 重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(二)答案1、2、(1)证明：延长B1D至A，连结AE三棱柱为直三棱柱，平面BCC1B1平面ABC 又ABC中
6、AB=AC，E为AB中点 AEBC AE平面BCC1B1又AC平面B1DE 平面B1DE平面BCC1B1 (2)3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx2，银行应支付的利息 h(x)=xg(x)=Kx36 (2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n2 即a0+a1+a2+an=n2 令n=1 则a0+a1=1，a1=1-a0 令n=2 则a0+a1+a2=22，a2=4-(a0+a1)=4-1=3 令n=3 则a0+a1+a2+a3=32，a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5 an为等差数列 d=a3-a2=5-3=2 a1=3-2=1 a0=0 an=1
7、+(n-1)2=2n-1 (2)由(1)f(x)=a1x1+a2x2+a3x3+anxn n为奇数时，f(-x)=-a1x1+a2x2-a3x3+an-1xn-1-anxn g(x)= 相减得 令 Cn+1Cn，Cn随n增大而减小 又随n增大而减小g()为n的增函数，当n=1时，g()=而 使mg()02、设a0，函数f（x）-ax在1，）上是单调函数（1）求实数a的取值范围；（2）设1，f（x）1，且f（f（），求证：f（）3、如图已知斜三棱柱ABC-的各棱长均为2，侧棱与底面ABC所成角为，且侧面垂直于底面ABC（1）求证：点在平面ABC上的射影为AB的中点；（2）求二面角C-B的大小；（
8、3）判断与是否垂直，并证明你的结论4、已知函数f（x）（axb）图象过点A（2，1）和B（5，2）（ 1 ）求函数f（x）的解析式；（2）记，是否存在正数k，使得对一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(六)1、已知，3（1）求f（x）； （2）求；（3）在f（x）与的公共定义域上，解不等式f（x）2、已知长方体ABCD-中，棱ABBC3，4，连结，过B点作的垂线交于E，交于F（1）求证：平面EBD；（2）求ED与平面所成角的大小；（3）求二面角E-BD-C的大小3、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，
9、以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船问哪种方案合算4、设数列的前n项和为，且，（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设，求证：数列是等差数列；重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(七)1、已知：A、B是ABC的两个内角，其中、为互相垂地的单位向量。若|=，试求tanAtanB的值。2、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=4,BAC=90，侧面ABB1A1为正方形，D为正方形ABB1A1的中心，E为BC的中点。(1)求证：
10、平面DB1E平面BCC1B1；(2)求异面直线A1B与B1E所成的角。3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去。(1)若存款的利率为x，x(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=a0+a1=x+a2x2+a3x3+anxn(nNn)，且y=f(x)的图象经过点(1，n2)，数列an(nN+)为等差数列。(1)求数列an的通项公式；(2)当n为奇函数时，设g(x)=,是否存在自然数m和M，使不等
11、式mg()100的n的最小值是15。试求公差d和首项a1的值。2、把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图象向左平移m个单位，所得函数g(x)的图象关于直线对称。(1)求m的最小值。(2)当m取最小值时，求g(x)的最大值及相应的x的值3、已知二面角PACB为60的二面角，BCAC，PAAC，AC=2，BC=2，PA=4，点P在平面ABC内的射影为D，(1)求证：AD/平在PBC，(2)求点B到平面PCA的距离。4、解关于x的不等式：mx2-3(m+1)x+90(mR)重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(五)答案1、解：原不等式可化为 + 0 0 0 且| x
12、 | 0 (| x |1)(| x |)0且| x | 0 | x |或0| x | x或x, 0| x |1 1x0或0x1. 原不等式的解集是(，)(1，0)(0，1)(， + )。 2、解析：（1）任取、1，且，则，显然，不存在一个常数a，使得恒为负数f（x）有确定的单调性，必存在一个常数a，使恒为正数，即a3，这时有f（）f（）f（x）在1，上是增函数，故a的取值范围是（0，3（2）设f（）u，则f（u），于是则，即，又，即，故3、解析：（甲）（1）如图，在平面内，过作AB于D，侧面平面ABC，平面ABC，是与平面ABC所成的角，60四边形是菱形，为正三角形，D是AB的中点，即在平面A
13、BC上的射影为AB的中点（2）连结CD，ABC为正三角形，又平面平面ABC，平面平面ABCAB，CD平面，在平面内，过D作DE于E，连结CE，则CE，CED为二面角C-B的平面角在RtCED中，连结于O，则，所求二面角C-B的大小为arctan2（3）答：，连结，是菱形CD平面，AB，平面，即k的最大值为4、解析：（1）由已知，得解得：（2）设存在正数k，使得对一切均成立，则记，则，F（n）是随n的增大而增大，当时，重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(六)答案1：（1）设tx-1，得，将上式代入得，（），（）（2）令，得由于，（3）f（x）与的公共定义域为-1，2原不等式等价于不等式
14、的解集为2、（1）连结AC交BD于O，则ACBD又平面AC，BDBE而平面，BEBD BEB，平面BED（2）连结，由CD知D在平面内，由（1）是EB又BE，BE平面，即得F为垂足连结DF，则EDF为ED与平面所成的角由已知ABBC3，4，可求是5，则，在RtEDF中，ED与平面所成的角为（3）连结EO，由EC平面BDC且ACBD知EOBDEOC为所求二面角E-BD-C的平面角，在RtEOC中，二面角E-BD-C的大小为3、解析：（1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列设纯收入与年数n的关系为f（n），则由题知获利即为f（n）0，由，得2.1n17.1.而nN，故n3，4，5
15、，17当n3时，即第3年开始获利（2）方案一：年平均收入由于，当且仅当n7时取“”号（万元）即第7年平均收益最大，总收益为12726110（万元）方案二：f（n）40n-98-2102当n10时，f（n）取最大值102，总收益为1028110（万元）比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n7，故选方案一4、（1），且是首项为3，公比为2的等比数列（2），且是以为首项，公差为的等差数列重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(七)答案1、2、(1)证明：延长B1D至A，连结AE三棱柱为直三棱柱，平面BCC1B1平面ABC 又ABC中AB=AC，E为AB中点 AEBC AE平面BC
16、C1B1又AC平面B1DE 平面B1DE平面BCC1B1 (2)3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx2，银行应支付的利息 h(x)=xg(x)=Kx36 (2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n2 即a0+a1+a2+an=n2 令n=1 则a0+a1=1，a1=1-a0 令n=2 则a0+a1+a2=22，a2=4-(a0+a1)=4-1=3 令n=3 则a0+a1+a2+a3=32，a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5 an为等差数列 d=a3-a2=5-3=2 a1=3-2=1 a0=0 an=1+(n-1)2=2n-1 (2)由(1)f(x)
17、=a1x1+a2x2+a3x3+anxn n为奇数时，f(-x)=-a1x1+a2x2-a3x3+an-1xn-1-anxn g(x)= 相减得 令 Cn+1Cn，Cn随n增大而减小 又随n增大而减小g()为n的增函数，当n=1时，g()=而 使mg()0 x3(2)m3时 当m0时 10 0m1时，x3或重庆市重点中学高2007级数学中档题训练系列(九)1、已知函数f（x）=log2（x+m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列.（1）求实数m的值；（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论.2、在ABC
18、中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角A的度数；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值.3、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，过BC1的平面BC1DAB1，平面BC1D交AC于D.（1）求证BD平面ACC1A1；（2）若二面角C1BDC等于60，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小.（结果用反三角函数表示）4、如图，点F（a，0）（a0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且0.（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（a，0），与的夹角为，求证：00，解得m=2.6分（2）由f（x）=lo
19、g2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2，f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2（a+2）（c+2），a、b、c成等比数列，b2=ac，9分又a、b、c是两两不相等的正数，故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4ac+4+4=b2+4b+4=（b+2）2，log2（a+2）（c+2）log2（b+2）2，即f（a）+f（c）2f（b）2、（1）由已知得21cos（B+C）（2cos2A1）=，cos（B+C）=cosA，4cos2A4cosA+1=0，（2cosA1）2=0，即cosA=.A=60.（2）a2=b2+c22b
20、ccosA=b2+c2bc=（b+c）23bc，a=，b+c=3， 3=93bc，bc=2，由解之得或.3、（1）连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，AB1平面BC1D，AB1平面AB1C，平面AB1C平面BC1D=DO，AB1DO，D是AC的中点，ABC是正三角形，BDAC，平面ACC1A1平面ABC，BD平面ACC1A1.（2）CC1平面ABC，且CDBD，C1DBD，C1DC是二面角C1BDC的平面角，C1DC=60，设正三棱柱底边长为2，则DC=1，CC1=，作DEBC于E，平面BCC1B1平面ABC，DE平面BCC1B1，作EFBC1于F，连结DF，则DFBC1，D
21、FE是平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的平面角，在RtDFE中，DE=，在RtDFE中，EF=BEsinC1BC=，tanDFE=，平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小为arctan.4、（1）（方法一）设N（x，y），=0，即P是MN的中点，M（x，0），P（0，），=0，PMPF，=1， y2=4ax即为所求.（方法二）设N（x，y），M（x0，0），P（0，y0）则由=0，得ax0+y02=0，由+=0，得（x+x0，y2y0）=0，即 代入得，y2=4ax即为所求.（2）设l的方程为y=k（xa），由消去x，得y2y4a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=4a2，=（x1+a，y1），=（x2+a，y2），=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2=+a24a2 =（y12+y22）2a2（2|y1y2|）2a2=4a22a2=0， cos=0， 00，q2=3，q=.（3）a1=1，q2=3，a2n1=a1q2n2=（q2）n1=3n1，两式相减，得4、f(x)=3x2x+b，f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f(x)=0有实数解，即方程3x2x+b=0有实数解，由=112b0， 得b.
