1、高三总复习人教A 版 数学（理）第五节 指数与指数函数高三总复习人教A 版 数学（理）1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型高三总复习人教A 版 数学（理）1根式的概念一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的(n1且 nN*)，记为n a，式子n a叫做，其中 n 叫做，a 叫做(1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个，负数的 n 次方根是一个，零的 n 次方根是n次方根根式根指数被开方数正数负数零高三总复习人教A 版 数学（
2、理）当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们的关系为互为相反数，用符号表示为n a.负数无(填“有”“无”)偶次方根(2)两个重要公式：n ana，n为奇数，|a|a，a0，a，a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)高三总复习人教A 版 数学（理）3指数函数(1)一般地，函数叫做指数函数，其中x是，函数的定义域为.(2)指数函数的图象与性质yaxa10a0且a1)自变量R高三总复习人教A 版 数学（理）定义域(，)值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在(，)上是增函数在(，)上是减函数高
3、三总复习人教A 版 数学（理）(3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如右图所示，a、b、c、d的大小关系为.(4)指数函数yax与y()x(a0且a1)的图象关系为0cd1ab关于y轴对称高三总复习人教A 版 数学（理）1化简4 16x8y4(x0，y0 且 a1)，则下列等式不正确的是()Af(xy)f(x)f(y)Bf(xy)nfn(x)fn(y)Cf(xy)f(x)f(y)Df(nx)fn(x)高三总复习人教A 版 数学（理）答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）4函数f(x)3x1的定义域、值域是()A定义域是R，值域是RB定义域是R，值域是(0，)C定义域
4、是R，值域是(1，)D以上都不对解析：y3x(13)x，其定义域为 R，值域为(0，)，f(x)3x1 的定义域为 R，值域为(1，)答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）5 函 数 y ax 2009 2010(a0 且 a1)的 图 象 恒 过 定 点_解析：yax(a0，且a1)恒过定点(0,1)，yax20092010恒过定点(2009,2011)答案：(2009,2011)高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 指数与指数运算1化简原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序2结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表
5、示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂高三总复习人教A 版 数学（理）例1 求值或化简：高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录高三总复习人教A 版 数学（理）思维拓展 指数式化简和求值分为两类：有条件的和无条件的，无条件的指数式可直接化简，有条件的应把条件和结论相结合再进行化简求值高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 化简下列各式：(其中各字母均为正数)高三总复习人教A 版 数学（理）高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 指数函数的图象及应用利用指数函数图象经过平移、对折、翻转等途径，作出指数
6、型函数图象，借助指数函数的性质解决问题，常见的问题有：利用变换后的图象比较函数值的大小，确定最值或单调区间，有时给出函数图象求参数的取值(或取值范围)题型多为选择题、填空题，在综合题的分析过程中，也常借助于函数图象高三总复习人教A 版 数学（理）例 2 已知函数 y(13)|x1|(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值思路探究高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)由已知可得y(13)|x1|(13)x1(x1)3x1(x1)，其图象由两部分组成：一部分是：y(13)x(x0)向左平移1个单位y(13)x1(x1)；高三总复习人教A 版
7、数学（理）另一部分是：y3x(x0)向左平移1个单位 y3x1(x0且a1)在区间1,1上的最大值为14，求实数a的值解：f(x)a2x2ax1(ax1)22，x1,1，(1)当 0a1 时，1aaxa，当 axa 时，f(x)取得最大值(a1)2214，a3 或 a5(舍去)综上可知，实数 a 的值为13或 3.高三总复习人教A 版 数学（理）热点之四 指数函数的综合应用指数函数的综合应用主要是指与指数函数有关的复合函数或与指数式有关的函数，常见的问题有：1解指数方程式、指数不等式2利用指数函数图象、性质解决有关的综合问题3利用指数函数求解有关参数取值的问题高三总复习人教A 版 数学（理）例
8、 4 已知 f(x)aa21(axax)(a0 且 a1)(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)当 x1,1时，f(x)b 恒成立求 b 的取值范围思路探究(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决；(3)恒成立问题关键是探求 f(x)的最小值高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)函数定义域为 R，关于原点对称又因为 f(x)aa21(axax)f(x)，所以 f(x)为奇函数(2)当 a1 时，a210，yax 为增函数，yax 为减函数，高三总复习人教A 版 数学（理）从而yaxax为增函数，所以
9、f(x)为增函数当0a1时，a210且a1时，f(x)在定义域内单调递增高三总复习人教A 版 数学（理）(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数，在区间1,1上为增函数所以 f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)aa21(a1a)aa211a2a1，要使 f(x)b 在1,1上恒成立，则只需 b1，故 b 的取值范围是(，1高三总复习人教A 版 数学（理）思维拓展 本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质及简单的应用，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视，另外分类讨论思想也是考查的另一重点高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 设函数 f(x)a2xa22x1
10、为奇函数求：(1)实数 a 的值；(2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性解：(1)依题意，函数 f(x)的定义域为 R，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，a2xa22x1a2xa22x1，2(a1)(2x1)0，a1.高三总复习人教A 版 数学（理）(2)由(1)知，f(x)2x12x1，设 x10，f(x2)f(x1)，f(x)在 R 上是增函数高三总复习人教A 版 数学（理）指数函数在新课标中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温趋势重点是指数函数的图象与性质，以及指数函数的实际应用问题，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视高三总复习人教A 版 数学（
11、理）例 5(2008上海高考)已知函数 f(x)2x 12|x|.(1)若 f(x)2，求 x 的值；(2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围高三总复习人教A 版 数学（理）解(1)当 x0，xlog2(1 2)高三总复习人教A 版 数学（理）(2)当 t1,2时，2t(22t 122t)m(2t12t)0，即 m(22t1)(24t1)22t10，m(22t1)t1,2，(122t)17，5，故 m 的取值范围是5，)高三总复习人教A 版 数学（理）1(2010广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均
12、为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数高三总复习人教A 版 数学（理）解析：f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数，而g(x)3x3x(3x3x)g(x)，g(x)为奇函数答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）2(2010上海)若 x0 是方程12xx13 的解，则 x0 属于区间()A.23，1 B.12，23C.13，12D.0，13答案：C解析：由 y12x 和 yx13 的图象可知，x013，12，故选 C.高三总复习人教A 版 数学（理）3(2010重庆)函数 f(x)4x12x 的图象()A关于原点对称B关于直线 yx 对称C关于 x 轴对称D关于 y 轴对称高三总复习人教A 版 数学（理）解析：f(x)2x2xf(x)，f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称答案：D高三总复习人教A 版 数学（理）
