1、30.2 二次函数的图像和性质第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质1会用描点法画出yax2的图像，理解抛物线的概念2掌握形如yax2的二次函数图像和性质，并会应用一、情境导入自由落体公式hgt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数yax2的图像【类型一】图像的识别 已知a0，在同一直角坐标系中，函数yax与yax2的图像有可能是()解析：本题进行分类讨论：(1)当a0时，函数yax2的图像开口向上，函数yax图像经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a0时，函数yax2的图像开口向下，函数yax图像经过二、四象限，故排除选
2、项D；又因为在同一直角坐标系中，函数yax与yax2的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a0与a0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”【类型二】实际问题中图像的识别 已知h关于t的函数关系式为hgt2(g为正常数，t为时间)，则函数图像为()解析：根据h关于t的函数关系式为hgt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数hgt2图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义探究点二：二次函数yax2的性质【类型一】利用图像判断二次函数的增减性 作出函数yx2的图像，观察图像
3、，并利用图像回答下列问题：(1)在y轴左侧图像上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2x10，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图像上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3x40，试比较y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法解：(1)图像如图所示，由图像可知y1y2，(2)由图像可知y3y4；(3)在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误【类型
4、二】二次函数的图像与性质的综合题 已知函数y(m3)xm23m2是关于x的二次函数(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性解析：(1)由二次函数的定义可得故可求m的值(2)图像的开口向下，则m30；(3)函数有最小值，则m30；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定解：(1)根据题意，得解得当m4或m1时，原函数为二次函数(2)图像开口向下，m30，m3，m4.当m4时，该函数图像的开口向下(3)函数有最小值，m30，m3，m1，当m1时，原函数有最小值(4)当m4时，此函数为yx2，开口向下，对称轴为y轴
5、，当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小当m1时，此函数为y4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察探究点三：确定二次函数yax2的表达式【类型一】利用图像确定yax2的解析式 一个二次函数yax2(a0)的图像经过点A(2，2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2，2)关于坐标轴的对
6、称点不是一个点，而是两个点点A(2，2)关于x轴的对称点B1(2，2)，点A(2，2)关于y轴的对称点B2(2，2)解：点B与点A(2，2)关于坐标轴对称，B1(2，2)，B2(2，2)当yax2的图像经过点B1(2，2)时，2a22，a，yx2；当yax2的图像经过点B1(2，2)时，2a(2)2，a，yx2.二次函数的关系式为yx2或yx2.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案【类型二】二次函数yax2的图像与几何图形的综合应用 已知二次函数yax2(a0)与直线y2x3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数yax2的
7、图像的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标解析：直线与函数yax2的图像交点坐标可利用方程求解解：(1)点A(1，b)是直线与函数yax2图像的交点，点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，(2)由(1)知二次函数为yx2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由x22x3，解得x11，x23，y11，y29，直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(3，9)【类型三】二次函数yax2的实际应用 如图所示，有一抛物线形状的桥洞桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩
8、形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为yax2.由题意可得B点的坐标为(3，3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为yax2.由题意可得B点坐标为(3，3)，3a32，解得a，抛物线的函数关系式为yx2.(2)当x1时，y12.OM3，木板最高可堆放3(米)方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数yax2的图像与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.
