1、学案21二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)公式的逆向变换及有关变形(1)sin cos _cos ；(2)降幂公式：sin2_，cos2_；升幂公式：1cos _，1cos _；变形：1sin 2sin2cos22sin cos _.自我检测1已知sin ，则sin4cos4的值为_2已知x(，0)，cos x，则tan 2x_.3函数y(sin xcos x)21的最小正
2、周期为_4.2的化简结果是_5函数f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分别为_和_探究点一三角函数式的化简例1求函数y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值变式迁移1(2010泰安一模)已知函数f(x).(1)求f的值；(2)当x时，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究点二三角函数式的求值例2已知sin(2)sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值变式迁移2(1)已知是第一象限角，且cos ，求的值(2)已知cos()，求cos(2)的值探究点三三角恒等式的证明例3(2010苏北四市模拟)已知sin(2)3sin ，设tan x，ta
3、n y，记yf(x)(1)求证：tan()2tan ；(2)求f(x)的解析式；(3)若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域变式迁移3求证：.转化与化归思想例(14分)(2010江西)已知函数f(x)sin2xmsinsin.(1)当m0时，求f(x)在区间上的取值范围；(2)当tan 2时，f()，求m的值【答题模板】解(1)当m0时，f(x)sin2xsin2xsin xcos x，3分由已知x，得2x，4分所以sin，5分从而得f(x)的值域为.7分(2)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2x(1m)cos 2x，9分由tan
4、2，得sin 2，cos 2.11分所以，12分解得m2.14分【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等1求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给
5、值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，是的二倍角等(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端
6、以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1已知0，3sin 2sin ，则cos()_.2已知tan()，tan，那么tan_.3(2011淮安模拟)已知cos 2 (其中)，则sin 的值为_4若f(x)2tan x，则f的值为_5(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在ABC中，若cos 2B3cos(AC)20，则sin B的值是_6(2011镇江模拟)已知sin()，则cos(2)的值是_7函数y2cos2xsin 2x的最小值是_8若，则cos sin 的值为_二、解答题(共42分)9(14分)化简：(1)cos 20co
7、s 40cos 60cos 80；(2).10(14分)(2010南京一模)设函数f(x)sin xcos xcos xsin.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当时，求函数f(x)的最大值和最小值11(14分)(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x4cos x.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值答案 自主梳理(1)2sin cos (2)cos2sin22cos22sin2(3)(1)sin 2(2)2cos22sin2(sin cos )2自我检测1解析原式(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos22sin21.2解析x(，0)，cos
8、x，sin x，tan x，tan 2x.3解析ysin2x2sin xcos xcos2x1sin 2x，T.42sin 4解析原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|2sin 4.53解析f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x22，则sin x时，f(x)最大；sin x1时，f(x)最小3.课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键解y74sin xcos x4cos2x4cos4x72sin 2x4cos2x(
9、1cos2x)72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2xsin22x(1sin 2x)26，由于函数z(u1)26在1,1中的最大值为zmax(11)2610，最小值为zmin(11)266，故当sin 2x1时，y取得最大值10，当sin 2x1时，y取得最小值6.变式迁移1解(1)f(x)2cos 2x，f2cos2cos .(2)g(x)cos 2xsin 2xsin.x，2x，当x时，g(x)max，当x0时，g(x)min1.例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函
10、数解由sin(2)sin(2)sin(2)cos(2)sin(4)cos 4，cos 4，又(，)，故，2sin2tan 1cos 2cos 2cos.变式迁移2解(1)是第一象限角，cos ，sin .(2)cos(2)cos 2cossin 2sin(cos 2sin 2)，0，故可知，sin()，从而cos 2sin(2)2sin()cos()2().sin 2cos(2)12cos2()12()2.cos(2)(cos 2sin 2)().例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的
11、角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第(3)小题则利用基本不等式求解即可解(1)由sin(2)3sin ，得sin()3sin()，即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin ，tan()2tan .(2)由(1)得2tan ，即2x，y，即f(x).(3)角是一个三角形的最小内角，0，0x，设g(x)2x，则g(x)2x2(当且仅当x时取“”)故函数f(x)的
12、值域为(0，变式迁移3证明因为左边右边所以原等式成立课后练习区1解析0，3sin 2sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，cos()cos()cos .2.解析因为，所以().所以tantan.3解析cos 212sin2，sin2.又，sin .48解析f(x)2tan x2tan x，f8.5.解析由cos 2B3cos(AC)20化简变形，得2cos2B3cos B10，cos B或cos B1(舍)sin B.6解析cos(2)cos(2)cos2()12sin2().71解析y2cos2xsin 2xsin 2x1cos 2xsin 2xcos 2x1sin1
13、，当sin(2x)1时，函数取得最小值1.8.解析(sin cos )，cos sin .9解(1)sin 22sin cos ，cos ，(3分)原式.(7分)(2)原式(9分)tan4.(14分)10解f(x)sin xcos xcos xsinsin 2xcos 2x1sin1.(4分)(1)T，故f(x)的最小正周期为.(6分)(2)因为0x，所以2x.所以当2x，即x时，f(x)有最大值0，(12分)当2x，即x0时，f(x)有最小值.(14分)11解(1)f()2cossin24cos12.(4分)(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cos x3cos2x4cos x13(cos x)2，xR.(10分)因为cos x1,1，所以，当cos x1时，f(x)取得最大值6；当cos x时，f(x)取得最小值.(14分)
