1、第一部分 论方法 专题4 转化与化归思想 转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中.类型一 直接转化【典例 1】已知在数列an中，a11，an1 2anan2，求数列an的通项公式【答题模板】【解析】an1 2anan2，a11，an0，1an1 1an12，即 1an11an12.又 a11，则1a11，1an是以 1 为首项，12为公差的等
2、差数列 1an1a1(n1)12n212，an 2n1(nN*)【对点练 1】求下列函数的值域：(1)ysinxcosx；(2)ysin2xcosx1；(3)ycosx2cosx1；(4)y1sinx3cosx.【解析】(1)ysinxcosx 2sin(x4)，函数的值域为 2，2(2)ysin2xcosx12cos2xcosx(cosx12)294，函数的值域为0，94(3)由 ycosx2cosx1，得 cosxy12y.|cosx|1，解不等式|y12y|1，得 y13或 y1.函数的值域为(，131，)(4)由 y1sinx3cosx，得 sinxycosx3y1，即 1y2sin(
3、x)3y1.sin(x)3y11y2.|sin(x)|1，|3y11y2|1.平方化简得 y(4y3)0.0y34，即函数值域为0，34类型二 换元法【典例 2】求函数 y(43sinx)(43cosx)的最小值【答题模板】【解析】y1612(sinxcosx)9sinxcosx，令 tsinxcosx，则 t 2，2且 sinxcosxt212.y1612t9t21212(9t224t23)故当 t43时，ymin72.【对点练 2】(2015衡水调研)已知 xy1，且 x，y 都是负数，求 xy 1xy的最值【解析】设 xsin2(sin20)，ycos2(cos20)，则 xy 1xys
4、in2cos21sin2cos214sin224sin2214(sin2216sin22)sin22 16sin22在 sin22(0,1上是减函数，sin221 时，取得最小值，xy 1xy的最小值为14(1161)174.【典例 3】若关于 x 的方程 9x(4a)3x40 有解，则实数 a 的取值范围是_【答题模板】可采用换元法，令 t3x，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决【解析】设 t3x，则原命题等价于关于 t 的方程t2(4a)t40 有正解，分离变量 a 得a4(t4t)，t0，(t4t)4.a8，即实数 a 的取值范围是(，8【答案】(，8【对点练 3】设 x，y 为实
5、数，若 4x2y2xy1，则 2xy 的最大值是_【解析】令 2xyt，则 yt2x.则 4x2y2xy1 变形为 6x23txt210.9t246(t21)0，t285.2 105t2 105，即 2xy 的最大值是2 105.类型三 数形结合法【典例 4】求函数 f(x)2sinx2cosx的值域【解析】函数 f(x)2sinx2cosx，可看作点(2,2)，(cosx，sinx)两点连线的斜率点(cosx，sinx)的轨迹为 x2y21.函数值域即为(2,2)与单位圆 x2y21 上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为 k.切线方程为 y2k(x
6、2)，即 kxy2k20.满足|22k|1k21，解之得 k4 73.函数 f(x)的值域为4 73，4 73【对点练 4】设 f(x)1x2，求证：对于任意实数 a，b，ab，都有|f(a)f(b)|ab|.【解析】设 A(x1,1)，B(x2,1)，则|OA|1x21，|OB|1x22，|AB|x1x2|.在AOB 中，|OA|OB|AB|，即有|1x21 1x22|x1x2|，所以|f(x1)f(x2)|x1x2|，即|f(a)f(b)|0，f10，b0，a2b2.根据约束条件作出可行域，可知14b2a11.【答案】(14，1)类型六 坐标法【典例 7】正方形 ABCD，ABEF 的边长
7、都是 1，并且平面ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动若CMBNa(0a 2)(1)求 MN 的长度；(2)当 a 为何值时，MN 的长度最短【答题模板】建立空间直角坐标系 得到点M，N的坐标代入两点间的距离公式，得到MN长度的代数式利用二次函数的性质求得最小值【解析】因为平面 ABCD平面 ABEF，且交线为 AB，BEAB，所以 BE平面 ABCD，所以 BA，BC，BE 两两垂直取 B 为坐标原点，BA，BE，BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为|BC|1，|CM|a，点 M 在坐标平面 zBx 上且在正方形
8、ABCD 的对角线上，所以点 M(22 a,0,1 22 a)因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线上，|BN|a，所以点 N(22 a，22 a,0)(1)由空间两点间的距离公式，得|MN|22 a 22 a20 22 a21 22 a02a2 2a1，即 MN 的长度为 a2 2a1.(2)由(1)得|MN|a2 2a1a 22 212，当 a 22(满足 0a0，求实数 p 的范围【答题模板】若pI，则在1，1上至少存在一个实数x0，使fx00逆否命题 若在1，1上对任意实数x，fx0，则pRI数形结合 f10，f10 求得RI 求得I【解析】记 p 的范围是
9、I，原题可作为命题：若 pI，则函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1上至少存在一个实数 x0，使 f(x0)0.等价命题为：函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1上对任意的 x 都有 f(x)0，则 pRI.由对任意的 x 都有 f(x)0，结合图形知f10，f102p2p10，2p23p90p3 或 p32，即RIp|p3 或 p32，所以 I(3，32)，故所求的 p 的范围为(3，32)【对点练 9】若 a，b，c 均为实数，且 ax22y2，by22z3，cz22x6.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.【证明】假设 a，b，c 都不大于 0，
10、即 a0，b0，c0，则abc0.而abcx22y2y22z3z22x6(x1)2(y1)2(z1)23，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0.这与 abc0 矛盾因此 a，b，c 中至少有一个大于 0.【典例 10】(2015东城练习)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种【解析】将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A44种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A33种方法于是符合题意的排法共有 A22A44A22A3336 种【答案】36【对点练 10】(2015衡水调研)某重点中学在一次高三诊断考试中，要安排 8 位老师监考某一考场的语文、数学、英语、理综考试，每堂两位老师且每位老师仅监考一堂，其中甲、乙两位老师不监考同一堂的概率是()A.314B.67C.37D.17【解析】利用间接法：安排 8 位老师监考某一考场的方法共有 C28C26C24C22种，而安排甲、乙两位老师监考同一堂的方法有C14C26C24C22，所以甲、乙两位老师不监考同一堂的概率 P1C14C26C24C22C28C26C24C2267.【答案】B
