1、云南省昆明市昆明市第八中学2020-2021学年高一数学12月月考试题（含解析）考试用时120分钟 满分150分注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，答在试卷上的答案无效.3.考试结束，由监考员将答题卡收回.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（ ）A. 或B. C. D.
2、或A分析：根据集合间的基本运算即可求解.解答：解：，或，或.故选：A.2. 全称命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. 以上都不正确C解答：试题分析：由题易知其否定命题为，故选C考点：逻辑命题3. 已知，则（ ）A. B. C. D. C分析：由指数函数、对数函数的性质可得，即可得解.解答：由函数在上单调递增，；由函数在上单调递增，；由指数函数在上单调递减，；.故选：C.4. 若，则的最小值是（ ）A. B. C. D. D分析：化简，结合基本不等式，即可求解.解答：由，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值是.故选：D.点拨：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个
3、条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5. 函数 的零点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3C分析：由于函数在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数，利用数形结合法解决解答：如图画出与 的图象，由图知与 的图象有两个交点故函数的零点有2个点拨：本题考查函数的零点，考查数形结合思想的运
4、用，应注意函数在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数6. 已知幂函数f(x)xa的图象过点，则函数g(x)(x2)f(x)在区间上的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4C分析：根据幂函数f(x)xa的图象过点，求得f(x)，然后由g(x)的单调性求解.解答：由已知得2a，解得a1，g(x)在区间上单调递增，所以g(x)ming3.故选：C.点拨：本题主要考查幂函数以及函数最值，属于基础题.7. 若函数的定义域为，则该函数的值域是（ ）A. B. C. D. C分析：根据二次函数的性质求出的值域，再利用指数函数的单调性即可求解.解答：令，因为，则，又因为单调递
5、增函数，所以.故选：C8. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. C分析】通过求函数的定义域，自变量与函数值的变化情况，利用排除法可求解解答：解：因为函数的定义域为，所以A不符合题意，当时，则，所以B不符合题意，当趋向于无穷大时，的增长速度快于的增长速度，所以对的趋向于零，所以D不符合题意，C符合题意，故选：C9. 已知f（x）是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）A. (0，1)B. C. D. B分析：要使函数在上为减函数，则要求当，在区间为减函数，当时，在区间为减函数，当时，综上解不等式组即可.解答：令，.要使函数在上为减函数，则有在区间上为减函数，在区间上为减函数且,解得.故
6、选：B点拨：考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，表达式是（ ）A. B. C. D. D分析：若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.解答：设，则，当时，函数是定义在上的奇函数，故选D .点拨：本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题. 本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为11. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. D分析：根据对
7、数函数性质，结合二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，求得函数的单调递增区间为，进而求得的取值范围.解答：由题意，函数满足，解得或，设，根据二次函数的性质，可得函数在单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为，又由函数在上单调递增，可得，即实数的取值范围是.故选：D.12. 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. B解答：试题分析：由已知可得，恒成立，又，故选B.考点：1、函数的奇偶性；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性、函数与不等式，涉及函数与方程思想、数形结合思
8、想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知函数，则_.分析：根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.解答：，则.故答案为：.14. 函数的定义域为_.分析：根据函数有意义即可求解.解答：解：由知：，解得：，故的定义域为：.15. 用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_.分析：根据表格中的数据，得到函数的零点所在区间为，结合零点的存在性定理，即可求解.解答：由表格中的数据，可得，根据零点的存在定
9、理，可得函数的零点所在区间为，故函数的零点的近似值为（精确到0.01），故答案为：.16. 如图所示，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，则点走过的路程是_dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是_. (1). (2). 分析：确定每段弧所对的圆心角和半径，利用扇形的弧长公式以及面积公式求得每段弧长以及扇形的面积，相加可得出结果.解答：解：由题意知：，所在圆弧的半径是，圆心角为；所在圆弧的半径是，圆心角为；所在圆弧的半径是，圆心角为，走过的路程是段圆弧之和，即，段圆弧所对的扇形的总面积是.故答案为：；.三、解答题：
10、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 计算下列各式值：（1）；（2）.（1）； （2）.分析：（1）由指数幂和对数的运算性质，准确化简，即可求解；（2）根据对数的运算法则与性质，准确化简，即可求解.解答：（1）由指数幂和对数的运算性质，可得：.（2）根据对数的运算法则与性质，可得：.18. 已知函数.（1）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；（2）求函数在区间上的值域.（1）见解析；（2）分析：（1）在区间内任取两数,并规定好大小,再作差,根据函数单调性的定义判断即可；（2）根据函数的单调性即可求得在区间上的值域.解答：解：（1）证明：任取，则 ，故，故，即，函数在区间是增函数；（
11、2）由（1）知函数在上是增函数，当时，任取，则 ，故，故，即，函数在区间是减函数；，故，故函数在区间上的值域为.点拨：方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：1.取值：任取，规定，2.作差：计算；3.定号：确定的正负；4.得出结论：根据的符号得出结论.19. 已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）求使不等式成立的的取值范围.（1）；（2）分析：（1）根据即可求解. （2）利用对数函数的单调性即可求解.解答：（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，所以，解得，所以， ，即，所以函数是定义在上的奇函数.（2）由，即，因为为单调递增函数，所以，即，当时，不等式恒成立；当时，则，解
12、得，此时综上所述，使不等式成立的的取值范围为. 20. （1）求函数在区间，上的最大值（2）已知函数在区间，上的最大值为14，求的值（1）7；（2）或者分析：（1）对配方，令，根据函数递增，求出最大值；（2）对，令，分，分别讨论，求出解答：解：（1），令，当，函数递增，所以（2），令，当时，或（舍去），当时，则（舍去），综上所述：或者点拨：考查指数型复合的二次函数最值，利用了换元法，函数的单调性，分类讨论思想，中档题21. 近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并
13、安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.（1）求常数的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，）（1）（2）42h分析：（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.解答：（1）由已知得，当时，；当时，.于是有，解得（或）.（2）由（1）知，当时，有，解得.故污染物减少到40%至少需要42h.点拨：本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.22. 设函数.（1）证明：为偶函数；（2）若，求的值.（1）见解析；（2）分析：（1）求出，然后再根据偶函数的定义，即可证明结果；（2）对，化简，可得，可得，为方程的根；再令，易知单调递增，可得，由此化简，即可求出结果.解答：（1），是偶函数.（2），有，即，为方程的根又令，显然单调递增，由，.点拨：本题主要考查了函数奇偶性的判断，同时考查了函数与方程，函数单调性的应用，属于中档题.
