1、红河州 2020 年中小学教学质量监测高二理科数学试题卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试结束后，将答题卡交回满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号答在试卷上的答案无效第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1设集合l0nAxx，110
2、Bxx，则 AB （）A1,B,1C D0,12复数21 2i（i 为虚数单位）的虚部为（）A 4B 4iC 3D33执行如图所示的程序框图，则输出 i 的值是（）A4B5 C6 D74已知碳 14 是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少已知 1 克碳 14 经过 5730 年，质量经过放射消耗到 0.5 克，则再经过多少年，质量可放射消耗到 0.125 克（）A5730 B11460 C17190 D229205已知 tan2，则sin 2 的值为（）A 45B45C35D 356已知向量1,0a，,1bx，且a 与b 的夹角是6，则 x 的值为（）A3B 3C2D27在 ABC 中
3、，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cos35B，5a，ABC 的面积为 10，则 sinaA的值为（）A 5 52B 5 32C 5 22D 3 528某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的体积为（）A4 B8 C 43D 839已知直线:20l kxykR是圆22:6260C xyxy的一条对称轴，过点 0,Ak 作圆 C的一条切线，切点为 B，则线段 AB 的长度为（）A2 B2 2C3 D2 310已知函 2ln412f xxx，则（）A 311log1ln42fffB 131lnlog 412f
4、ff C 3ln 2g1lo4fffD 31ln1log 42fff 11已知双曲线22:19xyC m 经过点317,4，1F，2F 为其左、右焦点，P 为 C 上一点且12PFPF，则12PFPF的值为（）A12 B14 C16 D1812已知直线 l 分别与函数1yx和1xye的图象都相切，且切点的横坐标分别为1x，2x，则122xx（）AeB 2eC1 D2第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13数术记遗相传是汉末徐岳（约公元 2 世纪）所著该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知
5、算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共 14 种计算方法某研究学习小组共 6 人，他们搜集整理该 14 种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为：93，93，88，81，94，91，则这组时间数据的标准差为_14已知5543254321023xa xa xa xa xa xa，则3a _15将半径为 3，圆心角为 23 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为_16某市政府需要规划如图所示的一块公园用地，已知1kmAB，要求BACCAD，ACBC，ADDC，要使得公园（四边形 ABCD）的面积取得最大值，则此时cosBAD _三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字
6、说明，证明过程或演算步骤17（12 分）已知数列 na的各项均为正数，前 n 项和为nS，11a 且2112nnnaaS（1）求数列 na的通项公式；（2）若11nnnba a，数列 nb的前 n 项和为nT，求证：1nT 18（12 分）为调查某学校胖瘦程度不同（通过体重指数 BMI 值的计算进行界定）的学生是否喜欢吃高热量的食物，从该校调查了 300 名偏胖与偏瘦的学生，结果如下：胖瘦程度是否喜欢偏胖偏瘦喜欢60100不喜欢30110（1）能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下，认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关？请说明理由；（2）已知该校的甲、乙两人约定到食堂吃午饭
7、，两人都在 11：30 至 12：30 的任意时刻到达，求甲比乙早到至少 20 分钟的概率附：20P Kk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.82822n adbcKabcdacbd19（12 分）如图，在正方体1111ABCDA B C D中，点 E 为棱1AA 的中点，点 F 为线段11AC 上的动点（1）证明：BDCF；（2）求二面角 EBCF的正切值的最小值20（12 分）已知函数 xxekRfkx（1）当1k 时，求函数 f x 的单调区间；（2）讨论函数 f x 的零点个数21（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22，且过点0,2（1
8、）求椭圆 C 的标准方程；（2）若不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求 OPQ 面积的最大值选考题：请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为：13xtyt（t 为参数），曲线 C 的参数方程为：2cos3sinxy（为参数）（1）求直线 l 与曲线 C 的普通方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求线段 MN 的长度23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设函数 213
9、f xxx（1）解不等式 0f x；（2）若不等式 333f xxm对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围参考答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求题号123456789101112答案CABBABACCDDC1答案：C；解析：由ln0 x 得：1x，由110 x得：01x，所以 AB 2答案：A；解析：因为21 234ii ，所以虚部为 4 3答案：B；解析：初始值：0S，1i，第一次循环：1S ，2i，不符合“21S”继续循环；第二次循环：5S，3i，不符合“21S”继续循环；第三次循环：14S，4i，不
10、符合“21S”继续循环；第四次循环：30S，5i，符合“21S”退出循环；故输出5i 4答案：B；解析：由题意可得：碳 14 的半衰期为 5730 年，则过 5730 年后，质量从 0.5 克消耗到 0.25 克，过 11460 年后，质量可消耗到 0.125 克5答案：A；解析：因为 tan2，所以2222sincos2sincos2tan4sin 22sincos1sincos1 tan5，故：4sin 25 6答案：B；解析：因为向量1,0a，,1bx的夹角是6，所以23cos 621a bxabx，故3x 7答案：A；解 析：因 为0,B，cos35B，所 以 sin45B，因 为5a
11、，ABC 的 面 积 为 10，所 以1451025ABCSc，故5c，从而2222cos20bacacB，解得2 5b，由正弦定理得：sinsin5 52ABab8答案：C；解析：由三视图可知：四面体为 PABC，142 233P ABCV 9答案：C；解析：由题意得：31 20k ，1k ，则 0,1A，13AC，因为直线AB是圆C的切线，所以 ABBC，而2BCr，所以3AB 10答案：D；解析：函数 f x 定义域为 R，且 0f xfx，所以 f x 为奇函数，又易知 f x 在0,单调递增，所以 f x 是 R 上单调递增的奇函数，因为31ln14log2 ，所以 31ln1log
12、 42fff 11答案：D；解析：由题意得：16m，不妨设点 P 在双曲线的右支上，则128PFPF，且12PFPF，2222121210PFPFF F，又21264PFPF，所以12100264PFPF，解得：1218PFPF12答案：C；解 析：设 l 与1yx的 切 点 为111,x x，与1xye的 切 点 为221,xxe，公 切 线 的 斜 率：22121211111xxkexxexx ，可得：221xex，所以 22111211111xxxxxx，1221xx 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分题号13141516答案2 5108023173413答案
13、：2 5；解析：平均数：93 93 88 81 9491906x，方差：222222293 9093 90889081 90949091 90206s，标准差：202 5s 14答案：1080；解析：523x的二项展开式的通项：5515523320,1,2,3,4,5rrrrrrrrTCxCxr ，故335 3333227 10 41080aC 15答案：23；解析：设圆锥底面半径为 R，则2233R，所以1R 设内切球半径为 r圆锥高为 h，则912 2h，所以3rRhr，所以22r，故3442 223383rV16答案：1734；解析：设BACCADx，0,2x，则sinBCx，cosAC
14、x，cossinCDxx，2cosADx，所以2s i nc o sc o ss111c o si6s i n2s i n42n21 6ABCD xxSxxxxx四，现考察函数 6sin 2sin 4g xxx，12cos24cos40gxxx，解得：173cos24x，（173cos24x舍），由于cos2yx在0,2x上单调递减，由复合函数的单调性知：当173cos21,4x 时，g x 单调递增，173cos2,14x时，g x 单调递减；故当173cos24x时，四边形面积取得最大值，故173cos4BAD三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15、17 解：（1）因 为2112nnnaaS，所 以2*12,2nnnaaSnnN，两 式 相 减 并 整 理 得：1110nnnnaaaa，因为0na，所以112nnaan，又22212aaS，20a，所以22a，211aa，因此 na是以 1 为首项，1 是公差的等差数列，故111nann ；6 分（2）由（1）得1111111nnnba an nnn，所以1111111122311nTnnn，因为*nN，101n，故1nT 12 分18解析：（1）2230060 11030 1009.184160 140 90 210K，由于9.1846.635，故能在犯错误概率不超过 0.010 的前提
16、下认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关；6 分（2）设甲、乙到达食堂的时刻分别为 x，y，则可有 0606xy，其表示的区域记为 D，06062yxyx 表示的区域记为1D，作图得：则甲比乙早到至少 20 分钟的概率 114 4226 69S DPS D 12 分19证明：（1）连接 AC 交 BD 于点 O，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC，又因为1AA 平面ABCD，所以1BDAA，又1AAACA，所以 BD 平面11ACC A，因为CF 平面11ACC A，所以BDCF；4 分（2）法一：设二面角 EBCF的平面角为，由图可知：为锐角且当点 F 与点1A 重合时
17、，取得最小值，由于 DA，DC，1DD 两两相互垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，不妨设1AB ，则 1,1,0B，0,1,0C，11,0,2E，1,0,1F，1,0,0BC ，10,1,2BE，0,1,1BF，设平面 BCE 的法向量为111,mx y z，则00m BCm BE，即1110102xyz，令11y，得0,1,2m，设平面 BCF 的法向量为222,nx y z，则00n BCn BF ，即22200 xyz令21y，得0,1,1n，所以123coscos,5210m nm nm n，21sin1 cos10，1tan3，故二面角 EBCF的正切值的最小值为 1
18、312 分法二：由图可知：二面角 EBCF的平面角为锐角且当点 F 与点1A 重合时，该二面角的平面角取得最小值所以当点 F 与点1A 重合时，二面角 EBCF的平面角的正切值也取得最小值，由 BC 平面11ABB A，得 EBBC，1A BBC，所 以1A BE即 为 所 求二 面 角 的 平 面角，在 Rt ABE 中，1tan2ABEAEAB，在1Rt ABA 中，11tan1ABAAAAB，所以111111tantan12tantan11tantan31 1 2ABAABEA BEABAABEABAABE ，故二面角 EBCF的正切值的最小值为 1312 分法三：过点F作 FM 平面A
19、BCD于M，依题意 MAC，过M作 MNBC于N，连接FN，易知 FNBC，所以FNM为二面角 FBCA的平面角，又由正方体的性质知 ABBC，BEBC，所以EBA为二面角 EBCA的平面角设二面角 EBCF的平面角为，不妨设1AB ，01MNxx，当0 x 时，不符合题意，所以1tanFNMx，1tan2EBA，从而1152122tantan011 12122112 2xxFNMEBAxxx ，所以当1x，即点 F 与点1A 重合时，min1tan3，故二面角 EBCF的正切值的最小值为 1312 分20解：（）当1k 时，xf xex，1xfxe，令 0fx，解得：0 x；令 0fx，解得
20、：0 x；故：函数 f x 的单调增区间是0,，单调递减区间是,0；4分（2）法一：设00,P xy是函数xye上一点，由xye得xye，xye在 P 点处的切线方程是：000 xxyeexx，令0 xy，则01x，所以过原点作xye的切线方程是：yex，因此：当0k 或ke时，函数 f x 有 1 个零点；当 ke时，函数 f x 有 2 个零点；当0ke时，函数 f x 无零点12 分法二：令 0 xfxekx，显然0 x 不是 f x 的零点，故当0 x 时，xekx，记 xeg xx，210 xexxgxx，令 0gx，解得：1,x；令 0gx，解得：,0,1xx；故：g x 在,0，
21、0,1 上单调递减，在1,单调递增，从而 1g xge极小值，又 x ，0g x；0 x，g x ；0 x，g x ；x ，g x ；因此：当0k 或 ke时，函数 f x 有 1 个零点；当 ke时，函数 f x 有 2 个零点；当0ke时，函数 f x 无零点12 分21解：（1）由题意可得，解得222222bcaabc，解得222abc ，故椭圆的标准方程为：22142xy；4 分（2）由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l 方程为：0ykxm m，11,P x y，22,Q xy，因为直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以：222121212122212121212
22、12kxmkxmk x xkm xxmkm xxmy ykkx xx xx xx x，即：212120km xxmx x，故2120km xxm，从而12mxxk 联立22142ykxmxy得：224240 xkmxm，由2222164 1 2240k mkm，得22420km，又由韦达定理得1221224122412kmxxkmx xk 由得：212k，故24m（*）所以2221212614822PQkxxx xm，且原点 O 到直线 l 的距离：26md，22224122422222OPQmmSPQmmd，当且仅当224mm，2m，且满足（*）式：24m；此时：max2OPQS12 分22
23、解：（l）由直线 l 的参数方程为：13xtyt（t 为参数），得直线 l 的普通方程为：330 xy，由曲线 C 的参数方程为：2cos3sinxy（为参数），得曲线 C 的普通方程为：22143xy；5 分（2）直线 l 的参数方程的标准形式为：11232xtyt （t 为参数）将其代入曲线方程22143xy 化简得：254120tt，解得：165t，22t ，由 t 的几何意义可得：12616255MNtt10 分23解：（1）213f xxx，10240 xf xx 或132320 xx或3440 xxx 或 233x或3x，故原不等式的解集为2,4,3；5 分（2）不等式 333|f xxm恒成立21233xxm 恒成立21263xxm 恒成立min21263xxm 又由 212621 267xxxx 所以37m，解得 410m，故实数 m 的取值范围为：4,1010 分（以上参考答案及评分标准仅供参考，若有不同解法，请酌情给分）
