1、利用函数性质判定方程解的存在基础过关练题组一确定函数零点及零点个数1.下列图像表示的函数中没有零点的是()2.(2020安徽芜湖普通高中高一上联考)函数f(x)=x2x+1的零点是()A.0B.-12C.(0,0)D.-12,03.已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,则()A.a+b=1B.a+b=3mC.ab=1D.b=am4.对于函数f(x),若f(-1)f(3)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)上的零点()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有6.若32是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点
2、为.7.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x)=2x-1-3;(4)f(x)=x2+4x-12x-2.8.判断函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数.题组二确定函数零点的范围9.(2021陕西宝鸡金台高一上联考)下列区间包含函数f(x)=x+log2x-5零点的是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)10.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是方程f(x)=0的两个根,则a,b,的大小关系可能是()A.abB.abC.abD.ab11.已知e是自然对数的底数,函数
3、f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.a1bB.ab1C.1abD.b1a12.设x0是方程lnx+x=4的解,且x0(k,k+1),kZ,则k=.13.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.题组三由函数零点确定参数的值或范围14.(2021福建泉州高一上联考)已知函数f(x)=x2+x+a(a0)在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.-1a0B.-2a0C.-2a0D.-2a015.(2020安徽名校高一上联考)已知函数f(x)=log2x+x-3在区间(a,a
4、+1)内有零点,则正数a的取值范围为()A.(1,2)B.(2,+)C.(0,1)D.(1,+)16.已知函数f(x)=-x2-2x+a(x0)的两个零点分别为1和2.(1)求m、n的值;(2)若不等式f(x)-k0在x0,5上恒成立,求k的取值范围;(3)令g(x)=f(x)x,若函数F(x)=g(2x)-r2x在x-1,1上有零点,求实数r的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2021河南新乡高一上联考,)函数f(x)=ex+2x-5的零点所在的区间是()A.(3,4)B.(2,3)C.(0,1)D.(1,2)2.()方程x+log3x=3的解为x0,若x0(n,n+1),nN,则n等于(
5、)A.0B.1C.2D.33.(2019四川蓉城名校联盟高一上期中联考,)函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足0x11x20,g(x)=f(x)+a,若g(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)B.-1,0)C.(0,1)D.(0,15.()对于定义域为R的函数f(x),若存在非零实数x0,使函数f(x)的图像在(-,x0)和(x0,+)上与x轴都有交点,则称x0为函数f(x)的一个“界点”.下列四个函数中,不存在“界点”的是()A.f(x)=x3B.f(x)=x2+bx-2(bR)C.f(x)=1-|x-2|D.f(x)=2x-x26.
6、(2019河南商丘九校高一上联考,)函数f(x)=(x2-1)x2-4的零点个数是()A.1B.2C.3D.47.(2019河南平顶山六校联盟高一上期末,)若幂函数f(x)的图像过点(3,3),则函数y=f(x)+2-x的零点为()A.1B.2C.3D.48.()若函数f(x)=x+ax(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A.-2B.0C.1D.39.()已知函数f(x)=|x+1|,x0,log2x,x0.若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),则x1+x2+x3的取值范围是()A.(-2,0B.(-1,0)C.(-1,0D.(-2,0)二、填空题1
7、0.()若函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.11.()函数f(x)=|x+2|-1,x0,lnx-x2+2x,x0的零点的个数是.12.(2020北京交大附中高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2-2x. 若关于x 的方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则实数m的取值范围是.13.()定义域为R的奇函数f(x),当x0时,f(x)=log12(x+1),0x1,1-|x-3|,x1,若关于x的方程f(x)-a=0(0a1)的所有根之和为1-2,则实数a的值为.三、解答题14.()定义在0,2上的函数f(x
8、)=x2-2ax+1.(1)若f(x)的最小值为g(a),求g(a)的表达式;(2)若f(x)在其定义域上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.15.()已知函数f(x)=x|x-a|+bx.(1)若a=3,且f(x)是R上的增函数,求实数b的取值范围;(2)若b=-1,且对任意a(-1,2),关于x的方程f(x)=tf(a)总有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.答案全解全析第四章函数应用1函数与方程第1.1利用函数性质判定方程解的存在基础过关练1.A2.A3.C4.D5.C9.C10.C11.A14.B15.A16.C1.A除A选项外,其他选项的函数图像均与x轴有交点,即有零点,故选A
9、.2.A由f(x)=0,得x2x+1=0,解得x=0,函数f(x)的零点是0.3.C函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,ab且f(a)=f(b).f(x)=|log3x|,log3a+log3b=0,即log3a+log3b=log3(ab)=0,ab=1,故选C.4.D因为函数f(x)的图像在(-1,3)上未必连续,所以尽管f(-1)f(3)0,但函数y=f(x)在(-1,3)上未必有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.5.C若a=0,则b0,f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)f(2)0,与已知矛盾.故选C.6.答案1解析由f32=294-32a+3=0得a=5,则f(x)=
10、2x2-5x+3.令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,解得x1=32,x2=1,所以f(x)的另一个零点是1.7.解析(1)存在.令f(x)=0,即x2+7x+6=0,解得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)存在.令f(x)=0,即1-log2(x+3)=0,解得x=-1,所以函数的零点是-1.(3)存在.令f(x)=0,即2x-1-3=0,解得x=log26,所以函数的零点是log26.(4)存在.令f(x)=0,即x2+4x-12x-2=0,解得x=-6或x=2(舍去),所以函数的零点为-6.8.解析解法一:令lnx+x2-3=0,则lnx=3-x2,所以原函数零点的
11、个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图像交点的个数.在同一平面直角坐标系中,作出两函数的图像(如图).由图像知,函数y=3-x2与y=lnx的图像只有一个交点,从而lnx+x2-3=0只有一个根,即函数f(x)=lnx+x2-3有一个零点.解法二:f(1)=ln1+12-3=-20,f(1)f(2)0,又f(x)=lnx+x2-3的图像在(1,2)上是不间断的,f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+)上是递增的,函数的零点有且只有一个.9.Cf(1)=1+log21-5=-40,f(2)=2+log22-5=-20,f(3)=3+log23-5=log2340,f(5)=5+l
12、og25-5=log250.f(x)在(0,+)上单调递增,并且是连续函数,函数f(x)在区间(3,4)上存在零点.故选C.10.C由题意得,f(a)=f(b)0,而f()=f()=0,借助图像(图略)可知,a,b,的大小关系有可能是ab,故选C.11.A令f(x)=0,即ex+x-2=0,则ex=2-x.令g(x)=0,即lnx+x-2=0,则lnx=2-x,设y1=ex,y2=lnx,y3=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y1=ex,y2=lnx,y3=2-x的图像,如图所示:函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,y1=ex与y3=2-x图像的
13、交点的横坐标为a,y2=lnx与y3=2-x图像的交点的横坐标为b,由图像知a1b,故选A.12.答案2解析令f(x)=lnx+x-4,则f(x)在(0,+)上单调递增.f(2)=ln2-20,f(x)=lnx+x-4的图像是连续曲线,f(x)在(2,3)内有零点,k=2.13.证明由=690,得方程有两个不相等的实数根.设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.f(-1)f(0)=-110,f(1)f(2)=-150,且f(x)=5x2-7x-1的图像在R上是连续不断的,f(x)在(-1,0)和(1
14、,2)上分别有零点,即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.14.B函数f(x)的图像的对称轴为直线x=-120,且f(0)=a0,要使函数f(x)=x2+x+a(a0,即a-2,-2a0.故选B.15.A由题得f(2)=log22+2-3=0,且函数f(x)在定义域内单调递增,所以a2a+1,解得1a2.16.C作出函数f(x)和y=x的大致图像如图.可知点A(-1,1+a),点C(0,1+a)在函数图像上,而点B(0,a)不在函数图像上.结合图像可知,当a-1时,函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点.故选C.17.答案-,-23解析易知函数f(
15、x)=x-13x+a在定义域上单调递增,又函数f(x)=x-13x+a的零点在区间(1,+)上,且f(x)的图像是连续曲线,f(1)=23+a0,a0,即4+12(1-m)0,可得m43;由=0,可得m=43;由43.故当m43时,函数无零点.(2)由题意知0是对应方程的根,故有1-m=0,解得m=1.19.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(0)=3,c=3,f(x)=ax2+bx+3,f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a+b+3,f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3.f(x+1)=f(x)+2x,2a+b=b+2,a+b+3=3,解
16、得a=1,b=-1,f(x)=x2-x+3.(2)由(1)得g(x)=x2-|x|+3+m(mR),由于函数g(x)有4个零点,因此函数g(x)的图像与x轴有4个交点.在平面直角坐标系中,画出函数g(x)的图像,如图所示:由图像,得3+m0,114+m0,解得-3m0)的两个零点分别为1和2,可得1-3m+n=0,4-6m+n=0,解得m=1,n=2.(2)由(1)可得f(x)=x2-3x+2,由不等式f(x)-k0在x0,5上恒成立,可得不等式f(x)k在x0,5上恒成立.因为f(x)=x2-3x+2=x-322-14,所以f(x)=x2-3x+2在x0,5上的最小值为f32=-14,所以k
17、-14.(3)由(1)得g(x)=f(x)x=x+2x-3.因为函数F(x)=g(2x)-r2x在x-1,1上有零点,所以g(2x)-r2x=0在x-1,1上有解,即r=1+212x2-312x在x-1,1上有解,令t=12x,则r=2t2-3t+1.因为x-1,1,所以t12,2,所以r=2t2-3t+1在t12,2上有解,由r=2t2-3t+1=2t-342-1812t2,得-18r3,所以实数r的取值范围是-18,3.能力提升练1.D2.C3.A4.B5.A6.B7.D8.A9.C一、选择题1.D易知f(x)=ex+2x-5是R上的增函数,且f(1)=e-30,所以f(x)的零点所在的区
18、间是(1,2).故选D.2.C设f(x)=x+log3x-3,则f(1)=1+log31-3=-20,f(2)=2+log32-3=log32-10,又易知f(x)为单调函数,且其图像是连续曲线,方程x+log3x=3的解在(2,3)内,因此n=2.故选C.3.A依题意得f(0)=2m+60,f(1)=1+2(m-1)+2m+60m-3,m-75,解得-75m-54.故选A.4.B依题意,函数y=f(x)的图像与直线y=-a有2个交点,作出函数图像如图所示,由图可知,要使函数y=f(x)的图像与直线y=-a有2个交点,则0-a1,即-1a0,图像与x轴有两个不同的交点,故存在“界点”,B不符合
19、题意;在f(x)=1-|x-2|中,令f(x)=0得|x-2|=1,解得x=1或x=3,故存在“界点”,C不符合题意;在函数f(x)=2x-x2中,f(2)=f(4)=0,因此存在“界点”,D不符合题意.故选A.6.B要使函数有意义,则x2-40,即x24,解得x2或x-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立,舍去),解得x=2或x=-2,函数f(x)的零点个数为2.故选B.7.D设幂函数f(x)=x,由函数f(x)的图像过点(3,3),得3=3,即=12,f(x)=x,y=f(x)+2-x=x+2-x.令x+2-x=0,得x=2或x=-1(舍去),x=4.故选D.8.A函数f
20、(x)=x+ax(aR)的图像在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-20,故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,故选A.9.Cf(x)的图像如图所示,不妨设x1x2x3,由图像知,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则x1+x2=-2,f(x3)=a(0a1),由0f(x3)1得0log2x31,即1x32,-10,且a1)与函数y=x+a的图像的交点的个数,如图,当a1时,两函数图像有两个交点;如图,当0a1.11.答案4解析当x0时,f(x)=0|x+2|-1=0|x+2|=1,解得x=-3或x=-1,此时f(x)有2个零点.在
21、同一平面直角坐标系中作出y=lnx与y=x2-2x的图像,如图所示,由图像知,当x0时,f(x)有2个零点.综上所述,f(x)的零点的个数为4.12.答案(-1,0)解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,所以函数f(x)的图像关于y轴对称.作出函数f(x)的图像,如图所示:若方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点,由图像可知:当-1m0时,关于x的方程f(x)-m=0有四个不同的实数解.故实数m的取值范围是(-1,0).13.答案12解析依题意作出函数f(x)的图像如图所示.由图像知,f(x)-a=0有5个实数解,
22、5个实数解从小到大依次设为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x2=-6,x4+x5=6,因此x1+x2+x3+x4+x5=x3(-1,0),x3=1-2,因此a=f(1-2)=-f(2-1)=-log12(2-1+1)=12.三、解答题14.解析(1)由已知得f(x)=(x-a)2+1-a2.当a0时,f(x)在0,2上单调递增,g(a)=f(x)min=f(0)=1;当0a2时,f(x)在0,a上单调递减,在a,2上单调递增,g(a)=f(x)min=f(a)=1-a2;当a2时,f(x)在0,2上单调递减,g(a)=f(x)min=f(2)=5-4a.g(a)=1(a0),-a2+1(
23、0a0,f(0)0,0a2,f(2)0,解得1a54,实数a的取值范围是1,54.15.解析(1)当a=3时,f(x)=x|x-3|+bx=-x2+(b+3)x,x3,x2+(b-3)x,x3.f(x)是连续函数,且f(x)在R上递增,3-b23,3+b23,b3.(2)当b=-1时,由已知可得f(x)=x|x-a|-x=-x2+(a-1)x,xa,x2-(a+1)x,xa,tf(a)=-at.当a-12aa+12,即-1a1时,作出f(x)的图像(图略),要使方程总有三个不相等的实数根,应有fa+12-atfa-12恒成立,即-a24-a2-14-ata24-a2+14在(-1,1)上恒成立,解得t(0,1);当a-12a+12a,即1a2时,作出f(x)的图像(图略),要使方程总有三个不相等的实数根,应有f(a)-atfa-12恒成立,即-a-ata24-a2+14在1,2)上恒成立,解得t(0,1).综上所述,t(0,1).
