1、专题强化练6线性规划的综合性问题一、选择题1.()设二元一次不等式组x+2y-190,x-y+80,2x+y-140表示的平面区域为M,使函数y=ax(a0,a1)的图像过区域M的a的取值范围是()A.(1,3B.2,10C.2,9D.10,92.(2019河南郑州期末,)已知x,y均为正实数,若2x与2y的等差中项为2,则x+2y的取值范围是()A.(-,4)B.(0,4)C.0,4D.(-,43.()设D是不等式组x+2y10,2x+y3,0x4,y1表示的平面区域,则D中的点到直线x+y=10的距离的最大值是()A.2B.22C.32D.424.()已知O为坐标原点,定点A(3,4),动
2、点P(x,y)满足约束条件x1,y+1x,x+y3,则向量OP在向量OA方向上的投影的取值范围是()A.35,75B.35,95C.75,95D.35,115二、填空题5.(2019湖南师大附中高二期末,)若x,y满足约束条件2x-y+30,x-10,y-10,则z=-x+y的最小值为.6.()已知点P的坐标(x,y)满足x-4y+30,3x+5y25,x-10,且点A的坐标为(2,0),则OPOA|OA|的最大值是.7.()已知方程x2+(2+a)x+1+a+b=0的两根为x1,x2,且0x110),求实数m的取值范围.答案全解全析专题强化练6线性规划的综合性问题一、选择题1.C作二元一次不
3、等式组表示的平面区域如图所示.由x+2y-19=0,x-y+8=0,解得x=1,y=9,即A(1,9).由x+2y-19=0,2x+y-14=0,解得x=3,y=8,即C(3,8).结合图知,当函数y=ax的图像过点A(1,9)时,a取得最大值,此时a=9;当函数y=ax的图像过点C(3,8)时,a取得最小值,此时a=2.2a9.2.B由已知得2x+2y=4,因为2x+2y22x2y,所以22x2y4,即2x+y2,当且仅当x=y=1时,“=”成立,此时x+y2.又x,y0,所以作出可行域如图中阴影部分所示,令z=x+2y.由图知,当直线经过点(0,0)时,zmin=0;当直线经过点(0,2)
4、时,zmax=4,又x0,y0,所以可行域中不含x、y轴上的点,所以x+2y的取值范围是(0,4).故选B.3.D画出可行域如图中阴影部分所示,联立2x+y=3,y=1,解得x=1,y=1,即A(1,1),故点A到直线x+y=10的距离为42,则所求距离的最大值为42.4.D画出不等式组x1,y+1x,x+y3表示的平面区域,如图所示,向量OP在向量OA方向上的投影为|OP|cosAOP=|OP|OPOA|OP|OA|=OPOA|OA|=3x+4y5.令z=3x+4y,易知直线3x+4y=z过点G(1,0)时,z最小,且zmin=3;直线3x+4y=z过点N(1,2)时,z最大,且zmax=1
5、1.故向量OP在向量OA方向上的投影的取值范围是35,115.故选D.二、填空题5.答案2解析作出x,y满足的约束条件2x-y+30,x-10,y-10表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知,点A的坐标为(-1,1),将直线l:z=-x+y进行平移,当l经过点A时,目标函数z取得最小值,最小值为1+1=2.6.答案5解析由题知,OPOA|OA|=|OP|cosAOP,即OP在OA方向上的投影.作出可行域如图中阴影部分所示,由图知,当点P在点M处时,所求值最大.由x-4y+3=0,3x+5y=25得x=5,y=2,即M(5,2),|OP|cosAOP的最大值是5.7.答案-2,-23解析令f
6、(x)=x2+(2+a)x+1+a+b,则由题意知函数f(x)在(0,1)及(1,+)内各有一个零点,则f(0)0,f(1)0,2a+b+40.作出可行域,如图所示.令k=ba,则其表示可行域内的点与原点连线的斜率.设直线a+b+1=0与直线2a+b+4=0的交点为M,且M的坐标为(a0,b0),则a0+b0+1=0,2a0+b0+4=0,解得a0=-3,b0=2,即M(-3,2),则kOM=-23,结合图像可知-2k0),作出不等式组x-2y+50,3-x0,x+y0表示的平面区域,则集合A表示的区域为图中阴影部分,集合B表示以坐标原点为圆心,m为半径的圆及其内部.由AB得,m|OP|,由x-2y+5=0,3-x=0,解得x=3,y=4,即P(3,4),故|OP|=5,即m5.故实数m的取值范围是5,+).
