1、高考资源网（） 您身边的高考专家7.1.2弧度制及其与角度制的换算学 习 目 标核 心 素 养1体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系2了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算(重点)3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点)1通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养2借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.摄氏度与华氏温度“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度”摄氏度的发明者是安德斯摄尔修斯(Anders Celsiu
2、s 17011744)，其结冰点是0，沸点为100.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212“华氏温标”是经验温标之一在美国的日常生活中，多采用这种温标规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.摄氏温度()和华氏温度()之间的换算关系为：华氏度与摄氏度的进率：华氏度(
3、)32摄氏度()1.8摄氏度()(华氏度()32)1.8.问题(1)温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？(2)摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？(3)今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？提示(1)弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.(2)可以，1.(3)弧度书写方便简单.1角度制与弧度制的概念(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制角度制规定60分等于1度，60秒等于1分(2)弧度制定义：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的
4、角表示方法：1弧度记作1 rad.2角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是.思考：在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？提示不相等这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同3角度制与弧度制的换算一些特殊角的度数与弧度数的对应表：角度030456090120135150180弧度0思考：某同学表示与30角终边相同的角的集合时写成S|2k30，kZ，这种表示正确吗？为什么？提示这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为或|k36030，kZ4扇形的弧长与面
5、积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(0)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.思考：我们初中学过的半径为r，圆心角为n的扇形弧长、面积公式分别是什么？提示半径为r，圆心角为n的扇形弧长公式为l，扇形面积公式为S扇.1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)1弧度就是1的圆心角所对的弧()(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关()(3)160化为弧度制是 rad.()提示(1).1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角(2).“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关(3).160160 rad rad.答案(1)
6、(2)(3)21 080等于()A1 080BCD6D1 0801806，所以1 080化为弧度是6.3与角终边相同的角是()A B2k(kZ)C2k(kZ)D(2k1)(kZ)C选项A中2，与角终边相同，故A项错；2k，kZ，当k1时，得0,2)之间的角为，故与有相同的终边，B项错；2k，kZ，当k2时，得0,2)之间的角为，与有相同的终边，故C项对；(2k1)，kZ，当k0时，得0,2)之间的角为，故D项错4圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为_6扇形的面积为626.弧度制的概念【例1】下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是
7、周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关思路探究由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手D根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题弧度制与角度制的区别与联系区别单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；定义不同联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值1下列各说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长
8、等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D根据弧度制的定义可知1弧度是指长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，故D错误角度制与弧度制的转换【例2】设角1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们终边相同的所有角思路探究由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角570，750，用弧度制给出的两个角，；(2)终边相同的角的表示解答本题(1)可先将570，750化为弧度角再将其写成2k(kZ,02)的形式，解答(2)可先将1、2用角度制表示，再将其写成k360(kZ)的形式解
9、(1)要确定角所在的象限，只要把表示为2k0(kZ,002)的形式，由0所在象限即可判定出所在的象限15704，27504.所以1在第二象限，2在第一象限(2)1108，设1k360(kZ)，由7200，得720108k3600，所以k2或k1，所以在7200间与1有相同终边的角是612和252.同理2420且在7200间与2有相同终边的角是60.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键.由它可以得：度数弧度数，弧度数度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如2
10、k30，kZ是不正确的写法.(4)判断角终边所在的象限时，若2，2，应首先把表示成2k，2，2的形式，然后利用角终边所在的象限来确定角终边所在的象限.2(1)将11230化为弧度为_将 rad化为角度为_(2)已知15，1，105，试比较，的大小(1) rad75因为1 rad，所以11230112.5 rad rad.因为1 rad，所以 rad75.(2)解：法一(化为弧度)：1515，105105.显然1.故.法二(化为角度)：18，157.30，105.显然，151857.30105.故.弧长公式与扇形面积公式的应用探究问题1用公式|求圆心角时，应注意什么问题？提示应注意结果是圆心角的
11、绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错【例3】(1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 radB2 radC3 radD4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？思路探究(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解(1)B设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得则圆心角2
12、rad.(2)解设扇形的半径为r，圆心角为，弧长为l，面积为S.则l202r，所以Slr(202r)rr210r(r5)225(0r10)所以当半径r5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时2 rad.所以当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大面积为25 cm2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，SSlr(这里必须是弧度制下的角)；(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.3用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为
13、，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，所以l302r，从而Slr(302r)rr215r.所以当半径r cm时，l30215 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大为 cm2.1角度制与弧度制的比较角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制2.释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二(2)运用弧
14、度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：lr，r；Sr2，.3辨明1个易错误表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用1把5615化为弧度是()ABCDD561556.25.2在半径为10的圆中，240的圆心角所对弧长为()ABCDA240240 rad rad，所以弧长lr10，选A3如果2，则的终边所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C因为2，所以的终边在第三象限4将1 485化成2k(02，kZ)的形式为_10由1 4855360315，所以1 485可以表示为10.5一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数解设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则2rl4.由扇形的面积公式Slr，得lr1.由得r1，l2，所以2 rad.所以扇形的圆心角为2 rad.- 11 - 版权所有高考资源网
