1、福州一中20212022学年第一学期第一学段模块考试高三数学期中考试卷（完卷时间：120分钟 满分150分）一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设(为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 2.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 3.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.4.已知数列的前项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则（ ）A B C D6.已知数列满足：.若，则（ ）A. B.
2、 C. D. 7.设、为非零不共线向量，若，则（ ）A. B. C. D.8.若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ）A. B. C. 1 D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则（ ）A B C D10.设函数的定义域为，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）A B C D11.若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ）A.五面体 B.七面体 C.斜三棱柱 D.
3、正三棱柱 12.数学家欧拉于1765年在其著作三角形中的几何学首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，与的比值为定值，该直线被称为欧拉线. 若，则下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列，若，则_.14.在中，已知，点在边上，且满足，则_，_.15. 如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第5次达到最大值时，运动的时间为_分钟.16.函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且），若的图象
4、上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的， 然后将所得函数图象向右平移按个单位，最后再向上平 移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.18（12分）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值 19.（12分）在三边长成等差数列，三边长为连续奇数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角对边分别是，且，_？ 注
5、：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知数列的前项和是，点均在斜率为的直线上. 数列、满足.（1）求数列的通项；（2）若数列中去掉数列的项后，余下的项按原来的顺序组成数列，且数列的前项和为，求.21. （12分）如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径 为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.（1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、；（2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小.2
6、2（12分）形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知， （1）求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.高三数学答案一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACAABCDA二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACDBCDACACD三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. _63_; 14.（1
7、）_7 _（2）_; 15._49.5_; 16._四、 解答题：本题共6小题，共70分.17【解析】（1）由图象得，.2分.由.3分.4分 .5分（2） .8分当时，.9分.10分18.【解析】（）证明：如图，取的中点，连接，.1分因为，分别是，的中点，所以，.2分又，同理.4分又，所以平面平面，.5分又平面，所以平面.6分（）法一：（几何法）取中点，因连结，因为为中点，所以，（或其补角）为直线与直线所成角.8分，分别是，的中点在中，设直线与直线所成角根据余弦定理得.10分所以直线与直线所成角的余弦值为.12分法二：（向量法）如图所示，在平面内过作直线.以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正
8、方向，建立空间直角坐标系.7分则，0，.9分所以，设直线与直线所成角.10分所以.11分所以直线与直线所成角的余弦值为.12分19【解析】选，不妨设.1分由正弦定理得，得，.4分由余弦定理得.7分所以，整理的，因为，所以.9分而三边长为能构成三角形，所以.11分即.12分(用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题)另解：由得，.1分即，.5分，化简得，.9分 解得，.11分 .12分选，不妨设，且为奇数.1分由正弦定理得，得.5分由余弦定理得.9分所以，整理的，所以.11分因为不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求.12分选，.3分由正弦定理得.6分.11分.12分2
9、0【解析】（1）数列的前项和是，点均在斜率为直线上，数列是以首项，为公差的等差数列.1分.1分当时，满足上式，故.4分数列、满足时，两式相减得，满足上式，故.6分 .8分（2）设数列中前项中有数列的项，则，即求满足的最大正整数，易得，所以数列中前106项有数列的6项，.10分所以.11分.12分21.【解析】（1）如图，设，.1分根据三角形相似得，.2分若圆柱“竖放”，则.4分若圆柱“横放”，则.6分（2），由，解得当时，；当时，；.8分由解得当时，；当时，；.10分.11分.12分22【解析】（1）由，不妨设，.1分由幂指函数导数公式得，.2分所以，又，所以，曲线在处的切线方程为.3分（2）先寻找必要条件：若恒成立，则，解得.4分证明充分性：当时，若恒成立，构造，则，.5分令，所以，因为与同号，所以，所以，.7分（也可以对分类讨论）所以，所以即为上增函数，.8分又因为，所以，当时，； 当时，.所以，为上减函数，为上增函数，.10分所以，无最大值.又因为，所以，当时，；当时，. 恒成立，.12分
