1、模块综合测试一、选择题（每小题6分,共48分）1.如图1,ABEMDC,AE =ED,EFBC,EF =12 cm,则BC的长为（）A.6 cmB.12 cmC.18 cmD.24 cm图1思路解析:根据AE =ED,ABEMDC,有BM =MC.又EFBC,所以EF =MC,于是.答案:D2.顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是（）A.菱形B.矩形C.正方形思路解析:因为等腰梯形的两条对角线相等,所以得到的四边形对边平行,并且四条边都相等,由此该四边形为菱形.答案:A3.如图2,在ABCD中,E是AD的中点,AC、BD交于O,则与ABE面积相等的三角形有（）A.5
2、个B.6个C.7个D.8个D.梯形图2思路解析:利用三角形面积公式,等底等高的两个三角形面积相等,再利用平行四边形的面积为中介,建立面积相等关系.答案:C4.如图3,ABC的底边BCa,高ADh,矩形EFGH内接于ABC,其中E、F分别在边AC、AB上,G、H都在BC上,且EF2FG,则矩形EFGH的周长是（）图3A.B.C. D. 思路解析:由题目条件中的EF2FG,要想求出矩形的周长,必须求出FG与高AD h的关系.由EFBC得AFEABC,则EF与高h即可联系上.设FG x,EF2FG,EF2x.EFBC,AFEABC.又ADBC,设AD交EF于M,则AMEF.=,即=.=.解之,得.矩
3、形EFGH的周长为.答案:B5.在正方形ABCD中,点E在AB边上,且AEEB21,AFDE于G,交BC于F,则AEG的面积与四边形BEGF的面积比为（）A.12B.14C.49D.23思路解析:易证ABFDAE.故知BFAE.因AEEB21,故可设AE2x,EBx,则AB3x,BF2x.由勾股定理得.易证AEGAFB.可得SAEGSAFB AE2AF2（2x）2413.可得SAEGS四边形BEGF 49.答案:C6.如图4,在梯形ABCD中,ADBC,BAD =135,以A为圆心,AB为半径,作A交AD、BC于E、F两点,并交BA延长线于G,则BF的度数是（）图4A.45B.60C.90D.
4、135思路解析:BF的度数等于圆心角BAF的度数,由题意B =45,所以BAF=180-2B.答案:C7.RtABC中,CD是斜边AB上的高,该图中共有x个三角形与ABC相似,则x的值为（）A.1B.2C.3D.4思路解析:由题意,所给图形为射影定理的基本图形,ACD、BCD均与ABC相似.答案:B8.已知AB、CD为两直径,弦CEAB,COE的度数为50,则DOB的度数为（）A.115B.65C.115或65D.125思路解析:考虑到如图所示的两种情况,可以直接得到答案.答案:C第卷（非选择题共102分）二、填空题（每小题5分,共20分）图59.如图5,以直角坐标系的原点O为圆心作圆,A是x
5、轴上一点,AB切O于B,若AB12,AD8,则点B坐标为.思路解析:首先利用切割线定理求出AE =18,从而获得直径为10.在ABO中利用勾股定理求出OA,然后利用射影定理求点B的坐标.答案:(,)10.P为圆内接四边形ABCD对角线交点, =,已知P到AD的距离为2 cm,则P点到AB的距离为.解析:根据=,得BAC=DAC,于是P在角平分线上,由角平分线上点的特征,P点到AB的距离等于P点到AD的距离.答案:2 cm11.如图6,AB是直径,CDAB于D, ,ADDB31,则直径的长为.图6思路解析:直接利用相交弦定理的推论可得CD2ADBD,代入数值即得结果.AB是直径,CDAB于D,C
6、D2ADBD.ADDB31,设DB=x,则AD =3x.(4)2=3xx.x4.AB =16.答案:1612.如图7,已知两个以O为圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D、E,AB =12,AO =15,AD 8,则两圆的半径分别为.图7思路解析:连结OB、OC.AB切大圆于B,AC切小圆于C,OBAB,OCAC.DE是大圆的弦,DC=CE.在RtOAB中,有 =.在大圆中,根据切割线定理,有AB2=ADAE,8AE122.AE18.DEAE-AD18-810.DC =5.于是AC = AD DC =85 =13.在RtOAC中,有 =.答案:9,三、解答题（13题12分,1
7、4、15、16、17、18每小题14分）13.如图8,已知在梯形ABCD中,ADBC,E是CD的中点,EFBC交AB于F,FGBD交AD于G.求证:AG =DG.图8思路分析:根据EFBC和FGBD,两次应用平行线等分线段定理,即得F是AB的中点以及G是AD的中点.证明:ADEFBC,E是CD的中点,F是AB的中点.又FGBD,G是AD的中点.AG =DG.14.如图9,四边形ABCD中,AC、BD交于O,过O作AB的平行线,与AD、BC分别交于E、F,与CD的延长线交于K.求证:KO2=KEKF.图9思路分析:KO、KE、KF在一条直线上,要证明KO2=KEKF,即要证=,显然要寻找中间比,
8、现有图形无法将线段KO、KE、KF与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来,若延长CK、BA,设它们交于H,则图形中出现两个基本图形.这就不难将、进行转换而找到中间比.证明:延长CK、BA,设它们交于H.KOHB,=, =.=,即=.KFHB,同理可得=.=,即KO2=KEKF.15.如图10,已知RtACB中,CDAB于D,在CB的延长线上截取BE =BC,连结EA、ED.求证:1=2.图10思路分析:利用射影定理,并代换线段得到BE2=BDBA,证明EBDABE.证明:ACB是直角三角形,CDAB,由射影定理有BC2=BDBA.BE =BC,BE2=BDBA,即=.又ABE =EBD,EB
9、D ABE.1=2.16.如图11,已知在ABC中,BAC=90,ADBC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于F.求证: =.图11思路分析:比例式左边AB、AC在ABC中,右边DF、AF在ADF中,这两个三角形不相似,因此本题需经过中间比进行代换.通过证明两对三角形分别相似证得结论.证明:BAC =90,ADBC,ADB =ADC =BAC =90.1+2=90,2+C=90.1=C.ABDCAD.=.又E是AC中点,DE =EC.3=C.又3=4,1=C,1=4.又F =F,FBDFDA.=.=.17.如图12,已知PA切O于A,割线PBC交O于B、C,PDAB于D,延长PD交AO的延长
10、线于E,连结CE并延长交O于F,连结AF.图12(1)求证:PDPE =PBPC;(2)求证:PEAF;(3)连结AC,若AEAC=12,AB=2,求EF的长.思路分析:(1)证明等积式往往考虑相似三角形,但PBD与PEC不相似,因此要用PA2=PBPC进行等积变换.(2)要证明PEAF,只需证明同位角PEC和F相等.(3)首先找出EF与AB的关系,同时注意到AEAC=12,因此,先设法求出EFAB,这可由相似三角形得出.证明:(1)PA切O于A,PA2=PBPC,PAAE.又ADPE,APEDPA.PA2=PDPE.PDPE =PBPC.(2)证明:PDPE =PBPC,=.又EPC =BP
11、D,BPDEPC.PBD =PEC.又PBD =F,PEC =F.PEAF.(3)解:PA切O于A,BAP =ACP.APB =CPA,APBCPA.=.又ABP =F,BAP =AEP =FAE,AEFAPB.=.=.= =.又AB =2,.18.如图13,已知AB为半圆O的直径,AP为过点A的半圆的切线,在上任取一点C(点C与A、B不重合),过点C作半圆的切线CD交AP于点D;过点C作CEAB,垂足为E,连结BD,交CE于点F. (1) (2)图13(1)当点C为的中点时(如图13(1),求证:CF =EF;(2)当点C不是的中点时(如图13(2),试判断CF与EF的相等关系是否保持不变,
12、并证明你的结论.思路分析:第(1)题E与O重合,只需证明四边形DAEC为矩形,CDAB即可.(2)由(1)的结论猜测CF =EF仍然成立.然后再设法证明.证明:(1)DA是切线,AB为直径,DAAB.点C是的中点,且CEAB,CE过圆心.点E为半圆的圆心.又DC是切线,DCEC.四边形DAEC为矩形.CEAD且CE =AD.= =,即 =,F为EC的中点,即CF =EF.(2)CF =EF仍然成立.证明如下:连结BC并延长交AP于G点,连结AC.AD、CD是半圆的切线,DC=DA.DAC=DCA.AB为直径,ACB =90,ACG =90,G+DAC =DCA +DCG =90.G = DCG.在GDC中,GD =DC,又DC =DA,GD =DA.AP是半圆O的切线,APAB.又CEAB,CEAP.= =.又GD =AD,CF =EF.
