1、数学能否达到符号化水平，受制于文化数学其实就是一大堆符号:数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;运算符号+、-、dy、dx、;常量符号a、b、c,变量符号x、y、z;关系符号=、;函数符号f(x)、sin、cos、tg、ctg用符号有什么好处?(1)“字母将代数(按:包括整个数学)从字句的束缚下解放出来”,不再是“一大串累赘的言语”,并免去了“人类语言的种种含糊和误解”。(2)符号能代表事物的“一类”(按:如“1”就可代表“元素惟一的任一集合”、“单位1”等等“类”),使数学摆脱了单个对象的局限而具有了很高的一般性。(3)使数学运算的过程和方法也成为象数字那样的研究对象,便于研究各种
2、运算规律如结合律(a+b)c=ac+bc,乘方的定义aaa=an,等等。(引自T丹齐克数科学的语言,苏仲湘译,商务印书馆1985年4月版65-73页)丹齐克概括说:“在各个不同国家,代数的发展通常连续经历三个阶段:文辞阶段,缩写阶段和符号阶段。”(同上书第65页)故事1:符号“0”的创造历程。把“没有”用“空位”表示,古巴比伦、古中国都会(比如中国古代的算筹和后来的算盘都用空位表示“没有”),但没有特定的符号。巴比伦人曾在公元前3世纪创造了记号(象斜翘着的)来表示空位,玛雅人也曾创造过表示空位的零号(像一只贝壳或眼睛),但都没把零看作一个独立的数。印度人聪明些:他们在公元前2世纪至公元3世纪用
3、“”表示0,但至迟到9世纪这个“”已经演变成圆圈“0”(印度中央邦瓜廖尔城立于公元876年的一块石碑上,就明白无误地刻着表示零的“0”);此外更重要的,他们把“0”看作可实行运算的数,还制定了关于零的运算法则。印度数码公元8世纪传入阿拉伯国家,后来阿拉伯人又把它传到欧洲,并逐渐演变成现在的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9(即所谓“阿拉伯数字”,其实是印度人首创的),不过其中的零号传播较晚估计在13世纪初。印度人“用圆圈符号0表示零,可以说是数学史上的一大发明。在数学史上,0的意义是多方面的,它既表示无的概念,又表示位值记数中的空位,而且是数域中的一个基本元素,可以与其它数一起运算。”(其
4、实“0”还有“数轴正半轴起点”、“数轴正负数分界点”的意义)特别要注意加粗了的最后那个意义只有“0”成了实在的“数”,简便、清晰的笔算才能形成。(引自李文林数学史概论108-109)故事2:部分常用数学符号的创造者与创造时间。+、-(德国JWidman,1489年);(英国WOughtred,1631年);(瑞士JHRehn,1659年);=(英国RRecorde,1557年);(比例,英国WOughtred,1631年);(英国THarriot,16世纪);an(法国NChuquet,1484年);-(奥地利CRudolff,16世纪);已知数a、b、c、,未知数x、y、z、(法国Desca
5、rtes即笛卡尔,1637年);f(x)(瑞士Euler即欧拉,1748-1770年);dx、dy(法国Leibniz即莱布尼茨,1684年);(法国Leibniz即莱布尼茨,1675年)。(引自同上书)故事3:中国数学停滞在丹齐克说的“缩写阶段”。直到宋、元时期,中国数学仍只发展到“代数符号化的尝试”水平:数字仍然是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这样的方块字,或者是用算筹(竹、木或金属小棒)摆成的一些样式(我打不出来);进步到以“元”、“太”、“天”、“地”、“人”、“物”等方块字来表示各个不同的未知数,但只能算是李先生所说的“半符号代数”。即使这半步的发展也沦为“绝唱”
6、:“元末以后,中国传统数学骤转衰落。整个明清两代,不仅未再产生出能与数学九章、四元宝鉴相媲美的数学杰作,而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前,宋元数学的精粹,竟长期失传,无人通晓。明初开始长达三百年的时期内,除了珠算的发展及与之相关的着作(如程大位算法统宗,1502)的出现,中国传统数学研究不仅没有新的创造,反而倒退了。16、17世纪,当近代数学在欧洲蓬勃兴起之后,中国数学就更明显地落后了。”(引自同上书)反思:什么原因使中国传统数学达不到符号化水平?李文林举出了外因和内因:外因是数学外部文化(政治、经济和教育的制度,思想观念)的桎梏:“皇朝更迭的漫长的封建社会,在晚期表现出日趋严重的停滞性与
7、腐朽性,数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后,科举考试制度中的明算科完全废除,唯以八股取士,数学家社会地位低下,研究数学者没有出路,自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。而无论是笔算数学还是演绎几何(按:在西方它们早已盛行),在中国的传播都由于天朝帝国的妄大、自守而显得困难和缓慢。”内因是数学自身文化的桎梏:“中国传统数学本身也存在着弱点。筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不但笨拙累赘,而且对五个以上未知量的方程组无能为力(按:因为摆算筹的长方形框只有四个方位)。另一方面,缺乏演绎论证的算法倾向(按:中国传统数学只重实用性的
8、运算方法、轻视公理化的演绎论证)难以升华为现代数学。”其实还可补充一条重要的数学外部文化原因:我们的方块字强调表意,哪怕一个小小的偏旁部首都有含义,很难把它们切割出来成为抽象符号;印度、阿拉伯、欧洲等地的文字却由若干表音的字母连接而成,每个字母几乎毫无独立意义,于是易于切割成一个个抽象的符号。这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海
9、里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。不得不慨叹:数学的发展既受外部文化的重大影响,又受自身文化特质的重大影响!
