1、第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是()A1B2C3D4解析：xyx2xyxyx23 3 33，当且仅当xyx2，即x1时，等号成立答案：C2若ab0，则a的最小值为()A0 B1 C2 D3解析：因为a(ab)b33，当且仅当a2，b1时取等号，所以a的最小值为3.答案：D3设x，y，zR，且xyz6，则lg xlg xlg z的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：因为lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz23
2、，所以lg xlg ylg zlg 233lg 2，当且仅当xyz2时，取等号答案：B4已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3 B2 C12 D 12解析：2x4y8z2x22y23z312.当且仅当x2y3z2时等号成立答案：C5若logxy2，则xy的最小值是()A. B. C. D.解析：当logxy2，得x2y，即x2y1，且x0，y0，xyxxy3 .当且仅当xy时等号成立答案：A二、填空题6已知正数a，b满足ab21，则ab的最小值是_解析：因为a，b是正数，ab21，所以aba3 .故ab的最小值是，当且仅当即时取到最小值答案：7函数f(x)x(52x)2的最大值是_
3、解析：f(x)4x(52x)(52x)，当且仅当4x52x，即x时，等号成立故函数f(x)x(52x)2的最大值为.答案：8设x，y，z0且x3y4z6，则x2y3z的最大值是_解析：因为6x3y4zyyy4z6，所以x2y3z1，当且仅当y4z，即x2，y1，z时，等号成立所以x2y3z取得最大值1.答案：1三、解答题9为锐角，求ysin cos2的最大值解：y2sin2cos2cos22sin2(1sin2)(1sin2).当且仅当2sin21sin2，即sin 时取等号所以ymax.10已知a，b，c为正数，求证：(abc)(a2b2c2)9abc.证明：因为a，b，c为正数，所以abc
4、3，a2b2c23所以(abc)(a2b2c2)339.所以(abc)(a2b2c2)9abc，当且仅当abc时等号成立B级能力提升1若数列an的通项公式是an，则该数列中的最大项是()A第4项 B第6项C第7项 D第8项解析：an因为n23 48，当且仅当n2，即n4时，等号成立，所以an，该数列的最大项是第4项答案：A2函数y4sin2xcos x的最大值为_，最小值为_解析：因为y216sin2xsin2xcos2x8(sin2xsin2x2cos2x)88，所以y2，当且仅当sin2x2cos2x，即tan x时取等号所以ymax，ymin.答案：3请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为，于是底面正六边形的面积为6()2(82xx2)，帐篷的体积为V(x)(82xx2)(4x)(x2)(x2)(82x)(x2)(x2)16.当且仅当82xx2，即x2时取等号即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大
