1、第2讲空间中的平行与垂直考情解读1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等1线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a线面平行的性质定理ab线面垂直的判定定理l线面垂直的性质定理ab2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理a面面平行的判定定理面面平行的性质定理ab提醒使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可3平行关系及垂
2、直关系的转化热点一空间线面位置关系的判定例1(1)设a，b表示直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A若a且ab，则bB若且，则C若a且a，则D若且，则(2)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b思维启迪判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定答案(1)D(2)D解析(1)A：应该是b或b；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：m，若am时，满足a，a，但是不正确，所以选D.(2)若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al
3、，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中设m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：若，m，则m若m，n，则mn若m，mn，则n若n，n，则其中真命题的序号为()A BC D答案D解析若，m，则m与可以是直线与平面的所有关系，所以错误；若m，n，则mn，所以正确；若m，mn，则n或n，所以错误；若n
4、，n，则，所以正确故选D.热点二平行、垂直关系的证明例2如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.思维启迪(1)利用平面PAD底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BEAD易证；(3)EF是CPD的中位线证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，
5、AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形所以BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.思维升华垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，A
6、CD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.热点三图形的折叠问题例3如图(1)，在RtABC中，C90，D
7、，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？请说明理由思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化第(1)问证明线面平行，可以证明DEBC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C平面DEQ.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明由图(1)得A
8、CBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.思维升华(1)解决与折叠有关的问题
9、的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形如图(1)，已知梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC2AD4，E，F分别是AB，CD上的点，EFBC，AEx.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点(1)当x2时，求证：BDEG；(2)当x变化时，求三棱锥DBCF的体积f(x)的函数式(1)证明作DHEF，垂足为H，连接BH，GH，因为平面AEFD平面EBCF，交线为EF，
10、DH平面AEFD，所以DH平面EBCF，又EG平面EBCF，故EGDH.因为EHADBCBG2，BE2，EFBC，EBC90，所以四边形BGHE为正方形，故EGBH.又BH，DH平面DBH，且BHDHH，故EG平面DBH.又BD平面DBH，故EGBD.(2)解因为AEEF，平面AEFD平面EBCF，交线为EF，AE平面AEFD，所以AE平面EBCF.由(1)知，DH平面EBCF，故AEDH，所以四边形AEHD是矩形，DHAE，故以B，F，C，D为顶点的三棱锥DBCF的高DHAEx.又SBCFBCBE4(4x)82x，所以三棱锥DBCF的体积f(x)SBFCDHSBFCAE(82x)xx2x(0
11、xAC，所以符合要求的点G不存在13.如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC120，E，M分别为AB，DE的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，F为AC的中点，AC4.(1)求证：平面ADE平面BCD；(2)求证：FB平面ADE.证明(1)由题意，得ADE是ADE沿DE翻折而成的，ADEADE.ABC120，四边形ABCD是平行四边形，A60.又ADAE2，ADE和ADE都是等边三角形如图，连接AM，MC，M是DE的中点，AMDE，AM.在DMC中，MC2DC2DM22DCDMcos 604212241cos 60，MC.在AMC中，AM2MC2()2()242AC2.AMC是直角三角形，AMMC.又AMDE，MCDEM，AM平面BCD.又AM平面ADE，平面ADE平面BCD.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.ACDC4，F，N分别是AC，DC的中点，FNAD.又N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，BNDE.又ADDED，FNNBN，平面ADE平面FNB.FB平面FNB，FB平面ADE.
