1、3.7函数与方程基础篇【基础集训】考点函数的零点与方程的根1.设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B2.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.1x12,x1+x22B.1x12,x1+x21,x1+x21,x1+x20,F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,则实数a的取值范围为()A.(-,0B.1,+)C.(-,1)D.(0,+)答案C4.已知函数f(x)=x2+2x,x0,|lgx|,x0,则函数g(x)=f(1-x)-1的零
2、点个数为()A.1B.2C.3D.4答案C教师专用题组【基础集训】考点函数的零点与方程的根1.(2020重庆模拟,3)函数f(x)=12x-15x的零点位于区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B本题考查函数零点存在性定理的运用,体现了逻辑推理能力.考查的核心素养是数学运算.函数f(x)在R上为减函数,其图象为一条不间断的曲线.f(1)=12-15=3100,f(2)=14-25=-3200,f(1)f(2)0,由零点存在性定理可知,函数f(x)的零点位于区间(1,2).故选B.2.已知函数f(x)=15x-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0x1
3、,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零答案Af(x)=15x-log3x在(0,+)内单调递减,若f(x0)=0,则当x0x1时,一定有f(x1)0,故选A.3.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模,4)已知x表示不超过实数x的最大整数,g(x)=x为取整函数,x0是函数f(x)=lnx-2x的零点,则g(x0)等于()A.1B.2C.3D.4答案Bf(2)=ln2-10,故x0(2,3),g(x0)=x0=2.故选B.4.(2017湖南衡阳八中一模,11)设函数f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f
4、(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A.113,6B.203,263C.203,263D.113,6答案B函数f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x0的图象如图,不妨设x1x2x3,则x2,x3关于直线x=3对称,且-73x10,故x2+x3=6,则x1+x2+x3的取值范围是-73+6x1+x2+x30)的最小值为8,则()A.a(5,6)B.a(7,8)C.a(8,9)D.a(9,10)答案A由题意得f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a+log2a=8,将问题转化为a+log2a=8有解,求a的范围.令g(a)=
5、a+log2a-8,a0,则g(a)在(0,+)上单调递增,又g(5)=5+log25-80,所以根据零点存在性定理知a(5,6).故选A.解题点拨根据复合函数的单调性,得到f(x)min=f(0);将问题转化为a+log2a=8有解,求a的范围.令g(a)=a+log2a-8,a0,则g(a)在(0,+)上单调递增,根据零点存在性定理,得到答案.6.(2020北京门头沟一模,7)已知函数f(x)=2x(x0),lnx(x0),且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是()A.0,+)B.(1,+)C.(0,+)D.(-,1答案B本题考查分段函数与方程的根,考查
6、学生灵活运用函数的图象与性质解决问题的能力,考查学生运用数形结合的思想方法分析问题的能力,渗透直观想象的核心素养,体现数学的综合性.关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根就是函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a只有一个交点,如图所示,当a1时,满足题意,故选B.7.(2020四川南充模拟,9)设函数f(x)=1-x2(|x|1),|x|(|x|1),若方程f(x)=a有且只有一个实根,则实数a满足()A.a0B.0a1答案C关于x的方程f(x)=a有且只有一个实根y=f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,画出函数的图象如图,观察函数的图象可知当a=1时,y=f(x)的图象与直
7、线y=a只有一个交点,故选C.8.已知f(x)=|lgx|,x0,2|x|,x0,则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是.答案5解析由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1.作出函数y=f(x)的图象(如图).由图象知直线y=12与y=f(x)的图象有2个交点,直线y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点有5个.9.(2017山东枣庄4月模拟,12)已知函数f(x)=2x-1,x0,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)解析f(x)=2x-1,x0,-x2-
8、2x,x0=2x-1,x0,-(x+1)2+1,x0,画出f(x)的图象如图,由函数g(x)=f(x)-m有3个零点,知f(x)=m有三个根,所以实数m的取值范围是(0,1).10.(2020湖南长沙第一中学4月第七次大联考)设函数f(x)=elnxx,x0,-2020x,x0,函数g(x)=f(x)2-mf(x)+2,若函数g(x)恰有4个零点,则整数m的最小取值为.答案4解析令y=elnxx,x0,则y=e(1-lnx)x2,据此可得f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,当x=e时,f(x)取得极大值,为f(e)=1.作出f(x)的大致图象,如图.令f(x)=t,则原问题
9、等价于t2-mt+2=0有两个不相等的实数根,设为t1,t2,且t1(0,1),t2=2t1(2,+),故m=t1+2t1(3,+),故m的最小整数值为4.综合篇【综合集训】考法一函数零点的个数及所在区间的判断方法1.(2019河北石家庄模拟,5)f(x)=ex-x-2在下列哪个区间必有零点()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案C2.(多选题)(2021届山东枣庄三中第一次月考(9月)已知函数f(x)=kx+1,x0,log2x,x0,下列是函数y=f(|f(x)|)+1的零点个数的4个判断,其中正确的是()A.当k0时,有3个零点B.当k0时,有4个零点D.当k0
10、时,有1个零点答案CD3.(2020宁夏银川一中第一次月考,5)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=log13xB.y=3x-1C.y=x2-12D.y=-x3答案B4.(多选题)(2021届江苏扬州邗江蒋王中学第一次质量检测,12)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-e-x(x-1)B.函数f(x)有3个零点C.f(x)0的解集为(-,-1)(0,1)D.x1,x2R,都有|f(x1)-f(x2)|0.若函数g(x)=f(x)-mx-m+23有4个零点,则实数m的取值范围是()A.23,e-13B.23,e-13C.23,e13D.-e13,2
11、3答案B6.(2020江苏如皋中学第一学期阶段检测,18)已知f(x)是定义在(-,0)(0,+)上的奇函数,且当x0时,f(x)=3x-7,02,g(x)=f(x)-a.(1)若函数g(x)恰有三个不相同的零点,求实数a的值;(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和.当-1a1时,求h(a)的取值范围.教师专用题组【综合集训】考法一函数零点的个数及所在区间的判断方法1.(2017陕西渭南二模)函数f(x)=lnx-2x-1的零点所在的区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)答案B由题意可知函数f(x)是定义在(0,1)(1,+)上的增函数,又注意到f(2)=ln
12、2-20,所以f(2)f(3)0,则函数y=f(f(x)的零点所在区间为()A.3,72B.(-1,0)C.72,4D.(4,5)答案A本题考查分段函数、复合函数的零点所在区间.当x0时,30时,f(x)=2x+log9x2-9=2x+log3x-9为增函数,且f(3)=0,则x=3是唯一的零点,所以令f(f(x)=0,得f(x)=2x+log3x-9=3,因为f(3)=081.414+log33-9=3.3123,所以函数y=f(f(x)的零点所在区间为3,72.故选A.3.(2019湖南娄底二模,9)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,则x1x2等于()A.1B.-1C
13、.eD.1e答案A考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx分别与函数y=1x的图象的公共点A,B的横坐标,而Ax1,1x1,Bx2,1x2两点关于直线y=x对称,因此x1x2=1.故选A.解题关键本题考查函数与方程的综合问题,正确转化是解题的关键,将方程xex=1的解、方程xlnx=1的解转化为函数y=ex、函数y=lnx分别与函数y=1x的图象的公共点A,B的横坐标来求解.4.(2018百校联盟TOP20三月联考,16)已知函数f(x)=x|x-4|+2x,存在x3x2x10,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2f(x3)的取值范围是.答案(64,81)解析f(x)=x|
14、x-4|+2x=x2-2x,x4,-x2+6x,x4,作出f(x)的图象如图,由图象可知,x1+x2=6,且2x13,x1x2f(x3)=x1(6-x1)f(x1)=x1(6-x1)(-x12+6x1)=(-x12+6x1)2=-(x1-3)2+92,2x10,-x2-2x+1,x0,若关于x的方程f(x)2+(a-1)f(x)-a=0有7个不等的实数根,则实数a的取值范围是()A.1,2B.(1,2)C.(-2,-1)D.-2,-1答案C函数f(x)=3|x-1|,x0,-x2-2x+1,x0的图象如图:关于x的方程f(x)2+(a-1)f(x)-a=0有7个不等的实数根,即f(x)+af(
15、x)-1=0有7个不等的实数根,易知f(x)=1有3个不等的实数根,f(x)=-a必须有4个不相等的实数根,由函数f(x)的图象可知-a(1,2),a(-2,-1).故选C.3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),12)已知函数f(x)=|log3x|,0x3,-cos3x,3x9.若存在实数x1,x2,x3,x4,当x1x2x3m,x2+4x+2,xm的图象恰有三个公共点,则实数m的取值范围是.答案-1mm)的图象有一个交点A(2,2),并且与抛物线y=x2+4x+2在(-,m上的部分有两个交点B、C,由y=x,y=x2+4x+2解得B(-1,-1),C(-2,-2),抛物线y=x2+4
16、x+2在(-,m上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在y=2(xm)的图象上,才能使y=f(x)的图象与直线y=x有3个交点,实数m的取值范围是-1m2.5.(2018吉林长春十一高中、东北师大附中等五校联合模拟)函数f(x)满足对任意xR,都有f(x+2)=-f(-x),且f(x)=12x-1,-1x0,log2(x+1),0x1,g(x)=-14x+14,则函数h(x)=f(x)-g(x)在(-1,3)上的零点之和是.答案5解析f(x+2)=-f(-x),f(1)=0,易知在区间(-1,3)上,函数f(x)的图象和直线g(x)=-14x+14都关于点(1,0)中心对称,且直线g(x)=-14x+14和曲线f(x)在区间(-1,3)上有五个交点,根据点的对称性得到h(x)在(-1,3)上的零点之和为4+1=5.
