1、江苏省部分学校2022届高三第一次质量评估（一）数学（时间：120分钟 满分：150分） 2021年09月10日一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，集合，且，则实数a的取值集合为（ ）A C D，或2若是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（ ）A B2 C2或 D以上都不对3已知非零向量，则“”是“与共线”（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知，则（ ）A B C D5已知函数，则下列选项中图象为如图的函数可能是（ ）A B C D6已知函数的部分图象如图所示，则满足
2、条件的最小正整数x为（ ）A1 B2 C3 D47已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D8已知函数的定义域为R，若存在常数，对任意，有，则称为F函数给出下列函数：；（2）；是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有其中F函数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9下列说法中，正确的命题有（ ）A已知随机变量服从正态分布，则B以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性
3、回归方程为，则的值分别是和0.3C在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好D若样本数据的方差为2，则数据的方差为1610下列选项中，正确的是（ ）A函数且的图象恒过定点B若不等式的解集为，则C已知，则的最小值为D，且e为自然对数的底数，则11已知圆，点M在抛物线上运动，过点M引直线与圆C相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（ ）A2 B C D12如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A B若P为直线上的动点，则为定值C点A到平面的距离为D过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小
4、题5分，共20分）13_14已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为_15函数在点处的切线记为，直线及x轴围成的三角形的面积记为，则_16设函数若，则的最大值为_；若有且只有1个零点，则实数的取值范围是_四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知的内角的对边分别为，且（1）求A；（2）若的面积为3，求的周长18某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数的分布列为12345P0.30.150.150.20.2商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为200元；分4期或5期付款，其利润为
5、250元设X表示经销一件该商品的利润（1）记事件A为“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求；（2）求X的分布列及期望19记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）求数列的通项公式；（2）求的通项公式20在如图所示的几何体中，四边是矩形，四边形等梯形，且平面平面（1）过与平行的平面与交于点G求证：G为的中点；（2）求二面角的正弦值21已知抛物线与椭圆有公共的焦点，椭圆的左、右焦点分别为，该椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线与x轴，椭圆顺次交于（P点在椭圆左顶点的左侧），且与互补，求面积S的最大值22已知函数（1）若，求函数的最大值；（2）当时，若函数有两个
6、极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围1答案：A解析：由题意知集合，对于方程，解得因为，则当时，即时，成立；当时，即当时，因为，则，解得综上所述，a的取值集合为故选A2答案：B解析：若是纯虚数，则，解得：，故选B3答案：C解析：因是非零向量，若，则有，即或，即与共线，若与共线，则或，即得，于是有，所以“”是“与共线”的充要条件故选：C4答案：B解析：由题意可得：，则，从而有：，即故选B5答案：D解析：对于A：，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B：，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C：，则，当时，与图象不符，排除C故选D6答案：B解析：由图可知，即，所以由
7、五点法可得，即所以因为，所以由，得或因为，所以满足题意的最小正整数x为2，故选B7答案：C解析：如图，作于点于点B，因为与圆相切，所以，在中，所以又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以，整理得：，所以，所以双曲线的渐近线方程为故选C8答案：B解析：对于，显然不成立，故其不是F函数；对于，由于时，不成立，故不是F函数；对于，故对意的，都有，故其是F函数；对于，是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有，令，由奇函数的性质知，故有，显然是F函数，故选B9答案：BC解析：对于A，因，且，于是得，A不正确；对于B，由得，依题意得，即，B正确；对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；对
8、于D，依题意，的方差为，D不正确故选BC10答案：BCD解析：对于选项A：令，得，所以，所以函数图象所过的定点是，故A错误；对于选项B：由不等式的解集可得和3是方程的两根，由韦达定理得，解得，所以，故B正确；对于选项C：由，利用基本不等式可求得最小值为，知A正确；对于选项D：令，则，令，则，当时，当时，在单调递增，在单调递减，因为，所以，即，从而，故D正确故选BCD11答案：BC解析：如图，连接，题意，而，而，则垂直平分线段，于是得四边形面积为面积的2倍，从而得，即，设点，而，则，即，所以，即，得，所以的取值范围为故选BC12答案：ABD解析：对于选项A：连结，正方体中，而分别为棱，的中点，则
9、，所以，故A正确；对于选项B：设与的夹角为，由上图可知，所以，故B正确；对于选项C：连接，设点A到平面的距离为d，由得，又，则，所以，故C错误；对于选项D：连接交于点F，则F是的中点正方体外接球球心是正方体对角线，的中点O，半径由对称性知过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F易得故截面圆半径此时截面圆面积为，故D正确故选ABD13答案：解析：，14答案：解析：设圆锥的高为h，母线长为，则，所以，所以圆锥的侧面积15答案：解析：因为，所以在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，即的方程为，令，得，所以，令，得，由得，直线的交点坐标为，所以直线及
10、x轴围成的三角形的面积为，所以，则16答案：解析：（1）若，易得；（2）由可得，当时，；当或时，所以在和上单调递增，在单调递减，令可得或或，作出和的图象如图：当时，时无零点，时有一个零点，此时符合题意；当时，时有一个零点时有一个零点，此时共有两个零点不符合题意；当时，时有两个零点时无零点，此时共有两个零点不符合题意；当时，时有三个零点时无零点，此时共有三个零点不符合题意；综上所述：若有且只有1个零点，则实数的取值范围是17答案：（1）；（2）6解析：（1）因为所以，所以 2分因为，所以，因为，所以因为，所以 5分（未写，扣1分）（2）因为的面积为，所以，解得 7分由余弦定理，得，所以，所以所以
11、的周长为6 10分18答案：（1）0.657；（2）分布列见解析，205元解析：（1）由题意知，事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的对立事件是事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”因为，所以； 5分（2）X可能取值为，X的分布列为X150200250P0.30.30.4 9分故期望（元） 12分19解析：（1）将代入，得，整理得当时，得，所以数列是以为首项，为公差等差数列 5分所以 7分（2）由（1）得，代入，可得当时，； 8分当时， 11分所以 12分20答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）证明：连接交于点为矩形，则H为中点，连接因为平面，平面平面平面
12、，所以， 3分所以G为的中点 4分（2）在平面上作，垂足为O，由于平面为等腰梯形，所以，因为平面平面，且平面平面，所以平面，在平面中，作，交于M，所以，如图，以O为原点建立空间直角坐标系 6分则设因为，所以，即，所以，解得设平面的法向量为，而，由得，令，解得所以， 7分由于，所以，又，所以平面，所以为平面的法向量， 8分， 10分所以二面角的正弦值为 12分21答案：（1）（2）解析：（1）由题意可得，抛物线的焦点为，椭圆的半焦距， 1分又椭圆的离心率为，即， 2分，即， 3分椭圆的方程为 4分（2）设，设直线为，联立直线与椭圆方程，化简整理，可得，由韦达定理，可得， 6分且，可得 7分与互补，化简整理，可得将代入，可得，所以，解得，的方程为 9分由点到直线的距离， 10分由题可得，即，设，令，由均值不等式可知，当且仅当时，即，等号成立，当取最小值时，取最大值，即面积S最大，面积S最大值为 12分22答案：（1）0；（2）解析：（1）当时，函数的定义域为，所以，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减所以当时，有最大值为； 3分（2）因为的定义域为，令可得又因为函数有两个极值点，所以有两个不等实数根，所以，可得，且，所以， 5分所以，所以，由，从而，由不等式恒成立，所以恒成立 7分又， 9分令，所以在时恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围是 12分
