1、吉林省吉林市普通中学2021届高三数学下学期第四次调研测试试题 文本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回. 注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效. 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.
2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1. 已知全集，则集合=A. B. C. D. 2. 已知是第二象限角，则A. B. C. D. 3. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则A. B. C. 或 D. 4. 已知数列为等差数列，首项，公差，前项和，则A. B. C. D. 5. 如图所示的程序框图，输出的结果是A. B. C. D. 6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A B C D7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列
3、命题正确的是ABCD8. 甲、乙两位体育特长生在平时训练中，次的成绩如下面茎叶图所示，则下列说法正确的是A甲同学成绩的极差是B乙同学的平均成绩较高C乙同学成绩的中位数是D甲同学成绩的方差较小9. 已知,则的大小关系是A. B. C. D. 10. 下列关于平面向量的说法正确的是A若共线，则点必在同一直线上B若且，则C若为的外心，则D若为的垂心，则11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是A. B. C. D. 12. 已知点是双曲线的右支上一点，为双曲线的左、右焦点， 的面积为，则下列说法正确的是 点的横坐标为 的周长为的内切圆半径为 的内切圆圆心横坐标为ABC
4、 D第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的数书九章、李冶的测圆海镜益古演段、杨辉的详解九章算法、朱世杰的算学启蒙四元玉鉴这六部著作中任选2本研读，则必选数书九章的概率是_ 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则 . 15已知函数，则 . 16如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，则四棱锥的体积为 .截面四边形的周长的最小值为 .
5、三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.（）求；（）求.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）当平面时，求直线与平面所成的角19.（本小题满分12分）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.（）求点的轨迹方程；（）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且,求的值.20.（本小
6、题满分12分）全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，中国经济周刊主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨. 数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：科技投入收益根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理如下表：其中，（）请根据表中数据，建立关于的回归方程(系数精确到0.1)；（）乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数（即相关指数），试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？由
7、所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为=，决定系数：参考数据：.21.（本小题满分12分）已知函数.（）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数的值；（）求函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的
8、普通方程和曲线的直角坐标方程；（）若点在轴右侧，点在曲线上，求的最小值.23. 选修45：不等式选讲设函数.（）若，求证：；（）对于，恒成立，求实数的取值范围.吉林市普通中学20202021学年度高中毕业班第四次调研测试文科数学参考答案一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.123456789101112CCACBDBBADDB 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13. 14. 15. 16. (2分)， （3分）17【解析】（）当时， 1分 2分 3分 4分 （）当且时， 6分 即 7分由（）知 不符合式
9、8分 10分 因此 12分 18.【解析】 (1) 4分 (2) 8分 (3) ，则为所求. 10分 (注：指出为所求，未证明扣1分）又，又，则，则即直线平面所成角为. 12分19.【解析】（1）设 ，则， 点的轨迹方程 5分（注：也可以表示为（去除点），未去除点扣1分）（2）由题知，所以直线倾斜角为，直线方程为， 7分 由，解得 或 10分 12分 （注：也可以设，代入求解）20. 【解析】（1）两边取对数得令即 根据最小二乘估计可知：，得，所以回归方程为，即 5分甲建立的回归模型的所以甲建立的回归模型拟合效果更好 8分（注：或均给分）由知，甲建立的回归模型拟合效果更好.设，解得， 即所以科
10、技投入的费用至少要百万元，下一年的收益才能达到亿21.【解析】因为， 所以 1分根据题意 2分（1）解得 ，满足， 4分（2）当时，令，令或所以的递增区间是，递减区间是当时，令，令所以的递增区间是，递减区间是综上所述：当时，的递增区间是，递减区间是；当时，的递增区间是，递减区间是. 12分 22.【解析】（1）消去得即曲线的普通方程为 2分曲线的极坐标方程为 ，由 得曲线的直角坐标方程为 4分 （2）P是曲线右支上的动点 设点P坐标为 是曲线上 最小值即点P到曲线的距离 则= 7分，当且仅当时取等号当时，取最小值 最小值为 10分23.【解析】（）当时， 2分 当且仅当 等号成立 4分（注：没写取等号条件扣1分）（）对于，恒成立 恒成立 7分 即 实数的取值范围 10分 法二： （1） 当时 即时， 6分（2）当 即 时当时 ， 当时 ， 由 可知 9分综上：的取值范围 10分 12
